অনুশীলনী-১৩ - সমীম ধারা - সৃজনশীল সমাধান

১ একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ পদ $30$ এবং একাদশতম পদ $55$।

• (ক) প্রথম পদকে $a$ এবং সাধারণ অন্তরকে $d$ ধরে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) উদ্দীপক অনুসারে ধারাটি গঠন কর।
• (গ) যদি ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $6375$ হয় তবে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

২ ($i$) একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $a$, $q$ তম পদ $b$ এবং $r$ তম পদ $c$
($ii$) $\log2 + \log4 + \log8 + \cdots \cdots \cdots$ অপর একটি ধারা।

• (ক) $7 + 11 + 15 + \cdots \cdots \cdots$ ধারার $120$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) ($ii$) নং ধারাটির প্রথম $15$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ($i$) নং এর সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে দেখাও যে, $a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$

৩ $1760$ মিটার লম্বা একটি ফিতাকে $20$ টুকরা করা হলো যেখানে টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য একটি সমান্তর ধারা গঠন করে। ক্ষুদ্রতম টুকরাটির দৈর্ঘ্য $12$ মিটার।

• (ক) সাধারণ অন্তর $d$ ধরে প্রদত্ত তথ্যটিকে সমীকরণ আকারে প্রকাশ কর।
• (খ) $d$ এর মান ও বড় টুকরার মান নির্ণয় কর।
• (গ) শেষ দশটি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য কত?

৪ $9+7+5+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $-144$

• (ক) ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির কত তম পদ $-33$ নির্ণয় কর।
• (গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৫ একটি সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\dfrac{n}{2}\left(3n+7\right)$ যখন $n \in N$

• (ক) ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $r$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $3925$ হলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির কোন পদ $383$?

৬ একটি সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $144$ এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি $560$

• (ক) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $320$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৭ কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ $7$ এবং সাধারণ অন্তর $9$

• (ক) $(-2)^n \dfrac{n}{2n+1}$ সাধারণ পদটির অনুক্রমগুলি লিখ।
• (খ) ধারাটির শেষ পদ $196$ হলে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $4125$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৮ $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots$

• (ক) $8+11+14+17+ \cdots$ ধারাটির কোন পদ $395$?
• (খ) ধারাটির কোন পদ $\log 4096$?
• (গ) ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1830 \log 2$ হলে, $n$ এর মান কত?

৯ একটি সমান্তর ধারার $12$ তম পদ $77$ এবং $19$ তম পদ $91$

• (ক) $7+12+17+ \cdots$ সমান্তর ধারাটির $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $37$ পদের সমষ্টি কত?
• (গ) ধারাটির কোন পদ $119$ তা নির্ণয় কর।

১০ দৃশ্যকল্প-১: একটি সমান্তর ধারার প্রথম $19$টি পদের সমষ্টি $1881$ যার সাধারণ অন্তর $8$
দৃশ্যকল্প-২: $3+21+39+ \cdots$ একটি সমান্তর ধারা।

• (ক) $(-1)^n \dfrac{2}{3n+1}$ সাধারণ পদটির অনুক্রমটি লিখ।
• (খ) প্রমাণ কর যে, দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির প্রথম $(n+1)$ পদের সমষ্টির সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।
• (গ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটির $24$ তম পদ নির্ণয় কর।

১১ $9+7+5+ \cdots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $-200$

• (ক) $5+9+13+17+ \cdots$ সমান্তর ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির কত তম পদ $-11$?
• (গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।

১২ একটি সমান্তর ধারার $6$ তম পদ $65$ এবং $12$ তম পদ $77$

• (ক) উপরের তথ্যের আলোকে দুটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) ধারার প্রথম $23$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটি নির্ণয় কর এবং ধারার কততম পদ $99$ তা নির্ণয় কর।

১৩ $10+13+16+ \cdots +289$ একটি ধারা।

• (ক) ধারাটির দশম পদ কত?
• (খ) ধারাটির কোন পদ $199$?
• (গ) প্রদত্ত ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $578$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

১৪ এক ব্যক্তি $10000$ টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তির চেয়ে $8$ টাকা বেশি। প্রথম কিস্তি ছিলো $4$ টাকা।

• (ক) তার ঋণ পরিশোধের ধারাটি নির্ণয় কর।
• (খ) কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?
• (গ) যদি তাকে মূল টাকার সাথে অতিরিক্ত $25\%$ সুদ দিতে হত, তাহলে প্রদেয় সুদকে ধারার সাহায্যে প্রকাশ করে মোট সুদের পরিমাণ নির্ণয় কর।

১৫ একটি ধারা $a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+ \cdots +p$ এর পদসংখ্যা $n$ এবং পদগুলোর সমষ্টি $S$

• (ক) $a=29$ এবং $d=-4$ হলে ধারাটির ৮ম পদ কত?
• (খ) ধারাটির $m$ তম পদ $n^2$ এবং $n$ তম পদ $m^2$ হলে, $(m+n)$ তম পদ কত?
• (গ) প্রমাণ কর যে, $S$ এর মান $\dfrac{n}{2} \left\{2a+(n-1)d\right\}$

১৬ একটি সমান্তর ধারার $m$ তম পদ $m$ এবং $n$ তম পদ $n$

• (ক) সমান্তর ধারার সাধারণ পদ ও $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র লিখ।
• (খ) সমান্তর ধারাটির $(m+n-2)$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) $m=5$ হলে, ধারাটির প্রথম $50$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।