সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ৭

৭ কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ $7$ এবং সাধারণ অন্তর $9$

• (ক) $(-2)^n \dfrac{n}{2n+1}$ সাধারণ পদটির অনুক্রমগুলি লিখ।
• (খ) ধারাটির শেষ পদ $196$ হলে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $4125$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, সাধারণ পদ, $u_n = (-2)^n \dfrac{n}{2n+1}$

অনুক্রমটির প্রথম কয়েকটি পদ নির্ণয় করি:

$n=1$ হলে, ১ম পদ $= (-2)^1 \dfrac{1}{2(1)+1} = -2 \times \dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3}$

$n=2$ হলে, ২য় পদ $= (-2)^2 \dfrac{2}{2(2)+1} = 4 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{5}$

$n=3$ হলে, ৩য় পদ $= (-2)^3 \dfrac{3}{2(3)+1} = -8 \times \dfrac{3}{7} = -\dfrac{24}{7}$

$n=4$ হলে, ৪র্থ পদ $= (-2)^4 \dfrac{4}{2(4)+1} = 16 \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{64}{9}$

সুতরাং, নির্ণেয় অনুক্রমটি হলো: $-\dfrac{2}{3}, \dfrac{8}{5}, -\dfrac{24}{7}, \dfrac{64}{9}, \cdots$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

সমান্তর ধারার প্রথম পদ, $a = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 9$

ধরি, ধারাটির শেষ পদ (বা $n$ তম পদ) $= 196$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 196$

বা, $7+(n-1)9 = 196$

বা, $(n-1)9 = 196 - 7$

বা, $(n-1)9 = 189$

বা, $n-1 = \dfrac{189}{9}$

বা, $n-1 = 21$

বা, $n = 21 + 1$

$\therefore n = 22$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)$    [যেখানে $l$ হলো শেষ পদ]

$\therefore$ ধারাটির সমষ্টি, $S_{22} = \dfrac{22}{2}(7 + 196)$

$= 11 \times 203$

$= 2233$

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি $2233$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a = 7$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 9$

দেওয়া আছে, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = 4125$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} = 4125$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2 \cdot 7+(n-1)9\right\} = 4125$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{14+9n-9\right\} = 4125$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{9n+5\right\} = 4125$

বা, $n(9n+5) = 4125 \times 2$

বা, $9n^2 + 5n = 8250$

বা, $9n^2 + 5n - 8250 = 0$

বা, $9n^2 - 270n + 275n - 8250 = 0$

বা, $9n(n - 30) + 275(n - 30) = 0$

বা, $(n - 30)(9n + 275) = 0$

হয়,

$n - 30 = 0$

$\therefore n = 30$

অথবা,

$9n + 275 = 0$

$9n = -275$

বা, $n = -\dfrac{275}{9}$

যেহেতু পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = -\dfrac{275}{9}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n$ এর মান $30$। Answer