গাণিতিক সূত্র সমূহ

বীজগাণিতিক রাশি(Algebraic Expression)

---

বর্গ সম্পর্কিত

---

• $(a+b)^2$$=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)^2$$=a^2-2ab+b^2$
• $a^2-b^2$$=(a+b)(a-b)$
• $(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$
• $(x+a)(x-b)$$=x^2+(a-b)x-ab$
• $(x-a)(x-b)$$=x^2-(a+b)x+ab$

• $(a+b)^2$$=(a-b)^2+4ab$$=(a+b)(a+b)$
• $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$$=\{a+(-b)\}\{a+(-b)\}$
• $a^2+b^2$$=(a+b)^2-2ab$$=(a-b)^2+2ab$$=\frac12\left\lbrace\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right\rbrace$
• $ab$$=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
• $4ab$$=\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2$
• $2\left(ab+bc+ca\right)$$=\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)$ or, $\left(a+b+c\right)^2$$=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)$ or, $a^2+b^2+c^2$$=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)$
• $\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2$$=2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)$
• $\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)+abc$$=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)$
• $\left(a-b-c\right)^2$$=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca$

---

ঘন সম্পর্কিত

---

• $\left(a+b\right)^3$$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• $\left(a-b\right)^3$$=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
• $a^3+b^3$$=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$
• $a^3-b^3$$=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$
• $\left(p+x\right)\left(q+x\right)\left(r+x\right)=pqr+\left(pq+qr+rp\right)x+\left(p+q+r\right)x^2+x^3$
• $a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=\frac12\left(a+b+c\right)\left\lbrace\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right\rbrace$
• $\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)$
• $\left(a+b+c\right)^3$$=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

• $\left(a+b\right)^3$$=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)$
• $\left(a-b\right)^3$$=a^3-b^3-3ab\left(a-b\right)$
• $a^3+b^3$$=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)$
• $a^3-b^3$$=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)$

---

সূচক (Exponents/Indices)

---

• $a^n=a \times a \times a \times \cdots \cdots \cdots$ ($n$ সংখ্যক $a$) এখানে $n$ হলো সূচক বা ঘাত এবং $a$ হলো ভিত্তি
• $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$
• $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
• $a^{m}\div a^{n}=\frac{a^{m}}{a^{n}}=\begin{cases}a^{m-n} & \text{when }m\ge n\\[2 ex] \frac{1}{a^{n-m}} & \text{when }n>m\end{cases}$
• $a^0=1$
• $\sqrt{a}=a^{\frac12}$ ; $\sqrt[q]{a}=a^{\frac{1}{q}}$ ; $\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}$ ; $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac23}$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ ; $a^{-2}=\frac{1}{a^2}$
• $\left(ab\right)^{m}=a^{m}b^{m}$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}$
• $\left(\frac{m}{n}\right)^{-p}=\left(\frac{n}{m}\right)^{p}$
• $\text{When }a^{x}=a^{y} \text{ then, }x=y$
• $\text{When }a^{x}=b^{x} \text{ then, }a=b$

---

লগারিদম (Logarithms)

---

1. সাধারণ লগারিদম ($10$ ভিত্তিক) (Common Logarithm)
2. স্বাভাবিক লগারিদম ($e$ ভিত্তিক) (Natural Logarithm)

• $\log_{a}\left(MN\right)=\log_{a}M+\log_{a}N$
• $\log_{a}\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{a}M-\log_{a}N$
• $\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M$
• $\log_{a}1=0$
• $\log_{a}a=1$
• $\log_{a}a^2=2$
• $\log_{}a+\log_{}b+\log_{}c=\log_{}(abc)$
• $\text{When} \log_{a}y=x;\text{ then; }a^x=y$
• $\log_{a}M=\log_{b}M\div\log_{b}a=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}a}$
• $\log_{a}\sqrt[N]{M}=\frac{1}{N}\log_{a}M$
• যদি $a^x=n$ হয়, তবে $x=\log_{a}n$
• $\log_{a}b \times \log_{b}a=1$
• $\log_{a}b \times \log_{b}c \times \log_{c}a=1$
• $a\log_{x}b=b\log_{x}a$
• $x^y=e^{y\log_{e}x}$

• $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত (Algebraic Ratio & Proportion)

---

অনুপাত (Ratio)

---

---

সমানুপাত (Proportion)

---

• $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ [ব্যস্তকরণ/Invertendo]
• $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ [একান্তরকরণ/Alternendo]
• $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ [যোজন/Componendo]
• $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$ [বিয়োজন/Dividendo]
• $a:b=c:d$ অর্থাৎ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ হলে $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$ [যোজন-বিয়োজন/Componendo-Dividendo]
• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{g}{h}$ হলে, প্রত্যেকটি অনুপাত $\frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}$

ধারা (Series)

---

সমান্তর ধারা (Arithmetical Progression)

---

• প্রথম পদ $a$, সাধারণ অন্তর $d$ হলে, $r$ তম পদ $=a+(r-1)d$
• প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n=\frac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$
• কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও শেষ পদ দেয়া থাকলে,
  • সমষ্টি = ^{পদসংখ্যা (প্রথম পদ + শেষ পদ)}_২
  • পদ সংখ্যা = ^{শেষ পদ - প্রথম পদ}_{সাধারণ অন্তর + ১}
  • ধারার গড় = ^{শেষ পদ + প্রথম পদ}_২

• • $1+2+3+\cdots \cdots \cdots +n=\frac{n(n-1)}{2}$
  • $1^2+2^2+3^2+\cdots \cdots \cdots +n^2=$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
  • $1^3+2^3+3^3+\cdots \cdots \cdots +n^3=$$\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$=\left(1+2+3+\cdots \cdots \cdots +n\right)^2$
  • $1+3+5+\cdots \cdots \cdots +n$তম পদ$=$(পদসংখ্যা)^২=$n^2$
  • $1(2^\circ)+2^1+2^2+\cdots \cdots \cdots +n^{n-1}=2^n-1$
  • $2+4+6+\cdots \cdots \cdots +n=n(n+1)$

---

গুণোত্তর ধারা (Geometrical Progression)

---

• $n$ তম পদ $=ar^{n-1}$
• গুণোত্তর ধারাপ প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $\displaylines{S_n=\begin{cases}\frac{a\cdot\left(r^{n-1}\right)}{r-1} & \text{When }r>1\\[2 ex] a\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r} & \text{When }r<1\end{cases}}$

---

পরিমাপ (Measure)

---

১ একর	= ৪৮৪০ বর্গগজ
১ এয়র	= ১০০ বর্গমিটার
১ হেক্টর	= ১০০ এয়র = ২.৪৭ একর = ১০০০০ বর্গমিটার
১ কুইন্টাল	= ১০০ কেজি
১ মেট্রিক টন	= ১০০০ কেজি = ১০ কুইন্টাল
১ বিঘা	= ১৬০০ বর্গগজ
১ গজ	= ৩ ফুট
১ ইঞ্চি	= ২.৫৪ সে.মি.
১ মিটার	= ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
১ মাইল	= ১.৬০৯ কি.মি.
১ কি.মি.	= ০.৬২ মাইল (প্রায়)

---

মুনাফা (Profit) / সুদ (Interest)

---

সরল মুনাফা(Simple Interest)

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest)

---

গড় (Average)

---

• গড় (Avrage)$=$^{রাশির সমষ্টি (Sum)}⁄_{রাশির মোট সংখ্যা (Total of Numbers)}
• ক্রমিক ধারা গড়$=$^{শ্রেণির মধ্যবিন্দু ঘটনা সংখ্যাগুলোর গুণফলের সমষ্টি}⁄_{ঘটনা সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}
• $A=\frac{A_1N_1+A_2N_2}{N_1+N_2}$

---

নৌকার গতিবেগ (Speed of the Boat)

---

• মোট গতিবেগ$=$নৌকার বেগ$-$স্রোতের বেগ অর্থাৎ Total Speed$=$Speed of the Boat$-$Speed of the Stream
• সময়=^{মোট দূরত্ব}⁄_{গতির ব্যবধান}

• মোট গতিবেগ$=$নৌকার বেগ$+$স্রোতের বেগ অর্থাৎ Total Speed$=$Speed of the Boat$+$Speed of the Stream
• সময়=^{মোট দূরত্ব}⁄_{গতির সমষ্টি}

---

ট্রেন এর ক্ষেত্রে (Train)

---

---

ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

---

$\sin \theta=$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $=\dfrac{1}{\text{cosec} \theta}$

$\cos \theta=$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $=\dfrac{1}{\sec \theta}$

$\tan \theta=$ ^লম্ব⁄_ভূমি $=\dfrac{1}{\cot \theta}$$=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\cot \theta=$ ^ভূমি⁄_লম্ব $=\dfrac{1}{\tan \theta}$$=\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$

$\sec \theta=$ ^{অতিভুজ}⁄_ভূমি $=\dfrac{1}{\cos \theta}$

$\text{cosec} \theta=$ ^{অতিভুজ}⁄_লম্ব $=\dfrac{1}{\sin \theta}$

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$
• $\sin^2 \theta =1 - \cos^2 \theta$
• $\sin \theta =\sqrt{1 - \cos^2 \theta}$
• $\cos^2 \theta =1 - \sin^2 \theta$
• $\cos \theta =\sqrt{1 - \sin^2 \theta}$

• $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta =1$
• $\sec^2 \theta =1 + \tan^2 \theta$
• $\sec \theta =\sqrt{1 + \tan^2 \theta}$
• $\tan^2 \theta =\sec^2 \theta - 1$
• $\tan \theta =\sqrt{\sec^2 \theta - 1}$

• $\text{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta =1$
• $\text{cosec}^2 \theta =1 + \cot^2 \theta$
• $\text{cosec} \theta =\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$
• $\cot^2 \theta =\text{cosec}^2 \theta - 1$
• $\cot \theta =\sqrt{\text{cosec}^2 \theta - 1}$

---

পরিমিতি (Mensuration)

---

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল$= \frac12 \times$ভূমি$\times$উচ্চতা

ত্রিভুজের দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ দেওয়া থাকলে, ক্ষেত্রফল$=\frac12 \times$দুই বাহুর গুণফল$\times$বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণের $\sin$ অনুপাত।

ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য $a$, $b$, $c$ হলে, ত্রিভুজের পরিসীমা, $2S=a+b+c$; ক্ষেত্রফল $=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt3}{4}a^2$

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$ (যেখানে, $a$ সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য এবং $b$ ভূমি)

$a$, $b$ আয়তক্ষেত্রের দুই বাহু এবং কর্ণ $d$ হলে-
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $S=2(a+b)$
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ $d=\sqrt{a^2+b^2}$
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=a \times b$

বর্গক্ষেত্রে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে-
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $=2S=4a$
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $=\sqrt{2}a$
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=($বাহুর দৈর্ঘ্য$)^2=(a)^2$

সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=$ভূমি$\times$উচ্চতা

রম্বসের ক্ষেত্রফল $=\frac12 \times$কর্ণদ্বয়ের গুণফল

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $=\frac12 \times$উচ্চতা$\times$(সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল)

$n$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সূষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{a^2}{4}$ $\cot \left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)$

সূষম ষড়ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=6 \times$যেকোনো একটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

বৃত্তের পরিধি $=2\pi r$
বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^2$
বৃত্তের দৈর্ঘ্য $=\frac{\pi}{180^{\circ}}\times r \theta$
বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$

দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে $a$, $b$, $c$ হলে
আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল $=2(ab+bc+ca)$
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন $=abc$

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{3}a$
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল $=6a^2$
ঘনকের আয়তন $a^3$

ভূমির ব্যাসার্ধ $r$ হলে এবং উচ্চতা $h$ হলে
বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল $=\pi r^2$
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $=2\pi rh$
বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল $=2\pi r (r+h)$
বেলনের আয়তন $=\pi r^2h$

---

অসমতা (Inequality)

---

• $x\pm a > y\pm a$
• $cx > cy$ (When $c$ is positive)
• $\dfrac{x}{c} > \dfrac{y}{c}$ (When $c$ is positive)
• $cx < cy$ (When $c$ is negative)
• $\dfrac{x}{c} < \dfrac{y}{c}$ (When $c$ is negative)

---

পরিসংখ্যান (Statistics)

---

উপাত্তের পরিসর $=($সর্বোচ্চমান$-$সর্বনিম্ন মান$)+$১

শ্রেণিসংখ্যা $=$^{পরিসর}⁄_{শ্রেণি ব্যবধান}

আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য শ্রেণি সীমানা অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হতে হবে।

অজিভ রেখা অঙ্কনের ক্ষেত্রে, $x$-অক্ষ বরাবর শ্রেণিব্যবধানের উচ্চসীমা ও $y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা বসাতে হবে।

শ্রেণিমধ্যমান$=$^{শ্রেণির উর্ধ্বমান$+$শ্রেণির নিম্নমান}⁄_২

গাণিতিক গড়, $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i X_i$ [শ্রেণিবদ্ধ তথ্যের ক্ষেত্রে]
যেখানে,
$f_i=i$-তম শ্রেণির গণসংখ্যা
$x_i=i$-তম শ্রেণির মধ্যমান
$n=$মোট সংখ্যা