বৃত্ত (৮)
উপপাদ্য ১৭ বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
উপপাদ্য ১৮ বৃত্তের সকল জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
উপপাদ্য ১৯ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
অনুসিদ্ধান্ত ৩ বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
৫ বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, এদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।
৬ দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে তারা সমান্তরাল হয়।
৭ দেখাও যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।
৮ $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা $PQ=x$ সে.মি. এবং $OR\perp PQ$
- (ক) $\angle QOS$ কোণের পরিমাণ কত?
- (খ) প্রমাণ কর যে, $PS$ জ্যা বৃহত্তম জ্যা।
- (গ) $OR=\left(\frac{x}{2}-2\right)$ সে.মি. হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
১০ প্রমাণ কর যে, বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
১১ দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে তারা সমান হয়।
উপপাদ্য ২০ বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
উপপাদ্য ২১ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
অনুসিদ্ধান্ত ৪ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষবিন্দু দিয়ে যাবে।
অনুসিদ্ধান্ত ৫ কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
কাজ প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোন স্থূলকোণ।
৩ দেখাও যে, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
৪ চিত্রে, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $OB=2.5$ সে.মি.
- (ক) $ABCD$ বৃত্তটির পরিধি নির্ণয় কর।
- (খ) প্রমাণ কর যে, $\angle BAD=\frac12\angle BOD$
- (গ) $AC$ ও $BD$ পরস্পর $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, $\angle AOB + \angle COD = 2 \angle AEB$
উপপাদ্য ২৩ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
অনুসিদ্ধান্ত ৬ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
অনুসিদ্ধান্ত ৭ বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তিরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
উপপাদ্য ২৪ কোনো চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীতা কোণ সম্পূরক হলে তার শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্ত হয়।
৫ $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $2.5$ সে.মি., $AB=3$ সে.মি. এবং $BD$, $\angle ADC$ এর সমদ্বিখণ্ডক।
- (ক) $AD$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
- (খ) দেখাও যে, $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$।
- (গ) প্রমাণ কর যে, $AB=BC$।
উপপাদ্য ২৫ বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
অনুসিদ্ধান্ত ৮ বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
অনুসিদ্ধান্ত ৯ স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।
অনুসিদ্ধান্ত ১০ বৃত্তের কোনো বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
উপপাদ্য ২৭ দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও ম্পর্শ বিন্দু সমরেখ।
অনুসিদ্ধান্ত ১১ দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।
অনুসিদ্ধান্ত ১২ দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
৫ $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে বৃত্তে $PA$ ও $PB$ দুইটি স্পর্শক।
- (ক) উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।
- (খ) প্রমাণ কর যে, $PA=PB$
- (গ) প্রমাণ কর যে, $OP$ রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।
সম্পাদ্য ৬ একটি বৃত্ত বা বৃত্তচাপ দেওয়া আছে, কেন্দ্র নির্ণয় করতে হবে।
সম্পাদ্য ৭ বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে।
সম্পাদ্য ৮ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির স্পর্শক আঁকতে হবে।
সম্পাদ্য ৯ কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।
কাজ স্থূলকোণী এবং সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কর।
সম্পাদ্য ১০ কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।
সম্পাদ্য ১১ কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে।