সম্পাদ্য ১০ : কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।

কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।

মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। এর অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, $\angle ABC$ এর ভিতরে এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা $BC$, $CA$ ও $AB$ বাহু তিনটির প্রত্যেকটিকে স্পর্শ করে।

অঙ্কন : $\angle ABC$ ও $\angle ACB$ এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $BL$ ও $CM$ আঁকি। মনে করি, তারা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ থেকে $BC$ এর ওপর $OD$ লম্ব আঁকি এবং মনে করি, তা $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ এর সমান ব্যসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, এই বৃত্তটিই নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত।

প্রমাণ : $O$ থেকে $AC$ ও $AB$ এর ওপর যথাক্রমে $OE$ ও $OF$ লম্ব টানি। মনে করি, লম্বদ্বয় বাহুদ্বয়কে যথাক্রমে $E$ ও $F$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$O$ বিন্দু $\angle ABC$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত।

$\therefore OF=OD$ বাহু।

অনুরূপভাবে, $O$ বিন্দু $\angle ACB$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত বলে $OE=OD$

$\therefore OD=OE=OF$

সুতরাং $O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা $D$, $E$ ও $F$ বিন্দু দিয়ে যাবে।

আবার, $OD$, $OE$ ও $OF$ এর প্রান্তবিন্দুতে যথাক্রমে $BC$, $AC$ ও $AB$ লম্ব।

সুতরাং বৃত্তটি $\triangle ABC$ এর ভিতরে থেকে এর বাহু তিনটিকে যথাক্রমে $D$, $E$ ও $F$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

অতএব, $DEF$ বৃত্তটিই $\triangle ABC$ এর অন্তর্বৃত্ত হবে।