সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ৬

৬ একটি সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $144$ এবং প্রথম $20$ পদের সমষ্টি $560$

• (ক) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $320$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রথম শর্তমতে, প্রথম $12$ পদের সমষ্টি, $S_{12} = 144$

বা, $\dfrac{12}{2}\left\{2a+(12-1)d\right\} = 144$

বা, $6(2a+11d) = 144$

বা, $2a+11d = \dfrac{144}{6}$

বা, $2a+11d = 24$ -------- (i)

দ্বিতীয় শর্তমতে, প্রথম $20$ পদের সমষ্টি, $S_{20} = 560$

বা, $\dfrac{20}{2}\left\{2a+(20-1)d\right\} = 560$

বা, $10(2a+19d) = 560$

বা, $2a+19d = \dfrac{560}{10}$

বা, $2a+19d = 56$ -------- (ii)

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণদ্বয় হলো: $2a+11d=24$ এবং $2a+19d=56$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই,

$2a+11d = 24$ -------- (i)

$2a+19d = 56$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(2a+19d) - (2a+11d) = 56 - 24$

বা, $2a+19d - 2a - 11d = 32$

বা, $8d = 32$

বা, $d = \dfrac{32}{8}$

$\therefore d = 4$

$d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2a + 11(4) = 24$

বা, $2a + 44 = 24$

বা, $2a = 24 - 44$

বা, $2a = -20$

বা, $a = \dfrac{-20}{2}$

$\therefore a = -10$

এখন, ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি, $S_{10} = \dfrac{10}{2}\left\{2a+(10-1)d\right\}$

$= 5\left\{2(-10) + 9(4)\right\}$

$= 5(-20 + 36)$

$= 5 \times 16$

$= 80$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি $80$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘খ’ হতে পাই, সমান্তর ধারার ১ম পদ $a = -10$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 4$

দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $S_n = 320$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} = 320$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2(-10)+(n-1)4\right\} = 320$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{-20+4n-4\right\} = 320$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{4n-24\right\} = 320$

বা, $\dfrac{n}{2} \cdot 2(2n-12) = 320$

বা, $n(2n-12) = 320$

বা, $2n^2 - 12n = 320$

বা, $2n^2 - 12n - 320 = 0$

বা, $2(n^2 - 6n - 160) = 0$

বা, $n^2 - 6n - 160 = 0$

বা, $n^2 - 16n + 10n - 160 = 0$

বা, $n(n - 16) + 10(n - 16) = 0$

বা, $(n - 16)(n + 10) = 0$

হয়,

$n - 16 = 0$

$\therefore n = 16$

অথবা,

$n + 10 = 0$

$\therefore n = -10$

যেহেতু পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -10$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n$ এর মান $16$। Answer