সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ৩

৩ $1760$ মিটার লম্বা একটি ফিতাকে $20$ টুকরা করা হলো যেখানে টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য একটি সমান্তর ধারা গঠন করে। ক্ষুদ্রতম টুকরাটির দৈর্ঘ্য $12$ মিটার।

• (ক) সাধারণ অন্তর $d$ ধরে প্রদত্ত তথ্যটিকে সমীকরণ আকারে প্রকাশ কর।
• (খ) $d$ এর মান ও বড় টুকরার মান নির্ণয় কর।
• (গ) শেষ দশটি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য কত?

(ক) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

ফিতার মোট দৈর্ঘ্য বা সমান্তর ধারার পদের সমষ্টি, $S_{20} = 1760$

ফিতার মোট টুকরা বা পদসংখ্যা, $n = 20$

ক্ষুদ্রতম টুকরা বা প্রথম পদ, $a = 12$

ধরি, সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

$\therefore S_{20} = \dfrac{20}{2}\left\{2 \cdot 12 + (20-1)d\right\}$

বা, $1760 = 10(24 + 19d)$

বা, $10(24 + 19d) = 1760$

বা, $24 + 19d = \dfrac{1760}{10}$

বা, $24 + 19d = 176$

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো: $24 + 19d = 176$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই,

$24 + 19d = 176$

বা, $19d = 176 - 24$

বা, $19d = 152$

বা, $d = \dfrac{152}{19}$

$\therefore d = 8$

সবচেয়ে বড় টুকরাটি হবে ফিতাটির শেষ বা ২০তম টুকরা অর্থাৎ ধারাটির ২০তম পদ।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ২০তম পদ বা বড় টুকরার মান $= 12+(20-1)8$

$= 12+19 \times 8$

$= 12+152$

$= 164$

সুতরাং, $d$ এর মান $8$ এবং বড় টুকরার মান $164$ মিটার। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, ২০টি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য, $S_{20} = 1760$ মিটার।

শেষ দশটি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য বের করতে হলে, সম্পূর্ণ ২০টি টুকরার দৈর্ঘ্য থেকে প্রথম ১০টি টুকরার দৈর্ঘ্য বিয়োগ করতে হবে।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

$\therefore$ প্রথম ১০টি টুকরার দৈর্ঘ্য, $S_{10} = \dfrac{10}{2}\left\{2 \cdot 12 + (10-1)8\right\}$

$= 5(24 + 9 \times 8)$

$= 5(24 + 72)$

$= 5 \times 96$

$= 480$

$\therefore$ শেষ দশটি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য

$=$ ২০টি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য $-$ প্রথম ১০টি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য

$= S_{20} - S_{10}$

$= 1760 - 480$

$= 1280$

সুতরাং, শেষ দশটি টুকরার মোট দৈর্ঘ্য $1280$ মিটার। Answer