সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১২

১২ একটি সমান্তর ধারার $6$ তম পদ $65$ এবং $12$ তম পদ $77$

• (ক) উপরের তথ্যের আলোকে দুটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) ধারার প্রথম $23$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটি নির্ণয় কর এবং ধারার কততম পদ $99$ তা নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রথম শর্তমতে, $6$ তম পদ $= 65$

বা, $a+(6-1)d = 65$

বা, $a+5d = 65$ -------- (i)

দ্বিতীয় শর্তমতে, $12$ তম পদ $= 77$

বা, $a+(12-1)d = 77$

বা, $a+11d = 77$ -------- (ii)

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণদ্বয় হলো: $a+5d=65$ এবং $a+11d=77$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই,

$a+5d = 65$ -------- (i)

$a+11d = 77$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+11d) - (a+5d) = 77 - 65$

বা, $a+11d - a - 5d = 12$

বা, $6d = 12$

বা, $d = \dfrac{12}{6}$

$\therefore d = 2$

$d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a + 5(2) = 65$

বা, $a + 10 = 65$

বা, $a = 65 - 10$

$\therefore a = 55$

এখন, ধারাটির প্রথম $23$ পদের সমষ্টি, $S_{23} = \dfrac{23}{2}\left\{2a+(23-1)d\right\}$

$= \dfrac{23}{2}\left\{2(55) + 22(2)\right\}$

$= \dfrac{23}{2}\left\{110 + 44\right\}$

$= \dfrac{23}{2} \times 154$

$= 23 \times 77$

$= 1771$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $23$ পদের সমষ্টি $1771$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘খ’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = 55$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 2$

সুতরাং, ধারাটির ২য় পদ $= a + d = 55 + 2 = 57$

ধারাটির ৩য় পদ $= a + 2d = 55 + 2(2) = 59$

$\therefore$ নির্ণেয় সমান্তর ধারাটি হলো: $55+57+59+ \cdots$

এখন, ধরি ধারাটির $n$ তম পদ $= 99$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 99$

বা, $55+(n-1)2 = 99$

বা, $(n-1)2 = 99 - 55$

বা, $(n-1)2 = 44$

বা, $n-1 = \dfrac{44}{2}$

বা, $n-1 = 22$

বা, $n = 22 + 1$

$\therefore n = 23$

সুতরাং, নির্ণেয় ধারাটি $55+57+59+ \cdots$ এবং ধারাটির $23$ তম পদ $99$। Answer