সৃজনশীল : দ্বিঘাত সমীকরণ : অনুশীলনী ৫.২ - সমস্যা ৩০

 ৩০  একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা যথাক্রমে $(x-1)$ সে.মি. ও $x$ সে.মি. এবং একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ত্রিভুজটির উচ্চতার সমান। আবার, একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $x+3$ সে.মি. ও প্রস্থ $x$ সে.মি.।

• (ক) একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে তথ্যগুলো দেখাও।
• (খ) ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $10$ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
• (গ) ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধারাবাহিক অনুপাত বের কর।

মনে করি,
এখানে, $ABC$ হলো সমকোণী ত্রিভুজ যার ভূমি, $BC=(x-1)$ সে.মি. এবং উচ্চতা, $AC=x$ সে.মি.

$ABC$ হলো বর্গক্ষেত্র যার বাহুর দৈর্ঘ্য, $AC=CD=DE=AE=x$ সে.মি.

$ACFG$ হলো আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য, $AG=CF=(x+3)$ সে.মি. এবং প্রস্থ, $AC=GF=x$ সে.মি. [Answer]

আমরা জানি
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল$=$$\dfrac12 \times$ভূমি$\times$উচ্চতা

$\therefore \dfrac12 \cdot (x-1) \cdot x =10$

বা, $\dfrac12 \cdot (x-1) \cdot x =10$

বা, $x\left(x-1\right)=10\times2$

বা, $x^2-x=20$

বা, $x^2-x-20=0$

বা, $x^2-5x+4x-20=0$

বা, $x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)=0$

বা, $\left(x-5\right)\left(x+4\right)=0$

বা, $\left(x-5\right)=0$

$\therefore x=5$

বা, $\left(x+4\right)=0$

$\therefore x=-4$

এখানে $x=-4$ গ্রহণ যোগ্য নয়। কারণ ত্রিভূজের উচ্চতা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

$\therefore$ উচ্চতা $x=5$ সে.মি. [Answer]

প্রদত্ত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $10$ বর্গ সে.মি. [(খ) হতে]

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল$=$বাহু^২$=x^2=5^2=25$ বর্গ সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল$=$দৈর্ঘ্য$\times$প্রস্থ বর্গ একক

$=x \times (x+3)$ বর্গ সে.মি.

$=5 \times (5+3)$

$=5 \times 8$

$=40$ বর্গ সে.মি.

সুতরাং ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধারাবাহিক অনুপাত

$10:25:40$$=(2\times5) : (5\times5) : (8\times5)$$=2:5:8$ [Answer]