সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১৪

১৪ এক ব্যক্তি $10000$ টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তির চেয়ে $8$ টাকা বেশি। প্রথম কিস্তি ছিলো $4$ টাকা।

• (ক) তার ঋণ পরিশোধের ধারাটি নির্ণয় কর।
• (খ) কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?
• (গ) যদি তাকে মূল টাকার সাথে অতিরিক্ত $25\%$ সুদ দিতে হত, তাহলে প্রদেয় সুদকে ধারার সাহায্যে প্রকাশ করে মোট সুদের পরিমাণ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

প্রথম কিস্তির পরিমাণ বা সমান্তর ধারার ১ম পদ, $a = 4$

প্রতি কিস্তিতে বৃদ্ধির পরিমাণ বা সাধারণ অন্তর, $d = 8$

তাহলে,

২য় পদ $= a + d = 4 + 8 = 12$

৩য় পদ $= a + 2d = 4 + 2(8) = 4 + 16 = 20$

৪র্থ পদ $= a + 3d = 4 + 3(8) = 4 + 24 = 28$

সুতরাং, তার ঋণ পরিশোধের নির্ণেয় ধারাটি হলো: $4 + 12 + 20 + 28 + \cdots$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = 4$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 8$

দেওয়া আছে, মোট ঋণের পরিমাণ বা $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = 10000$

ধরি, ঐ ব্যক্তি $n$ সংখ্যক কিস্তিতে তার ঋণ শোধ করতে পারবেন।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2(4)+(n-1)8\right\} = 10000$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{8+8n-8\right\} = 10000$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{8n\right\} = 10000$

বা, $n(4n) = 10000$

বা, $4n^2 = 10000$

বা, $n^2 = \dfrac{10000}{4}$

বা, $n^2 = 2500$

বা, $n = \sqrt{2500}$

$\therefore n = 50$

(যেহেতু কিস্তির সংখ্যা বা পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ঋণাত্মক মান বর্জন করা হয়েছে)

সুতরাং, ঐ ব্যক্তি $50$টি কিস্তিতে তার ঋণ শোধ করতে পারবেন। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, মোট ঋণ বা মূল টাকা $= 10000$ টাকা

অতিরিক্ত সুদের হার $= 25\%$

যেহেতু মূল টাকার উপর $25\%$ সুদ দিতে হবে, তাই প্রতিটি কিস্তির উপরও $25\%$ সুদ প্রযোজ্য হবে।

‘ক’ হতে প্রাপ্ত ঋণ পরিশোধের ধারা: $4 + 12 + 20 + 28 + \cdots$

তাহলে প্রদেয় সুদের ধারাটি হবে:

$= 4$ এর $25\% + 12$ এর $25\% + 20$ এর $25\% + \cdots$

$= 4 \times \dfrac{25}{100} + 12 \times \dfrac{25}{100} + 20 \times \dfrac{25}{100} + \cdots$

$= 1 + 3 + 5 + \cdots$

এটি একটি নতুন সমান্তর ধারা যার ১ম পদ, $a_1 = 1$, সাধারণ অন্তর, $d_1 = 3-1 = 2$ এবং পদসংখ্যা, $n = 50$ ('খ' হতে প্রাপ্ত)।

মোট সুদের পরিমাণ = সুদের ধারার প্রথম $50$ পদের সমষ্টি

$= \dfrac{50}{2} \left\{2a_1 + (50-1)d_1\right\}$

$= 25 \left\{2(1) + 49(2)\right\}$

$= 25 (2 + 98)$

$= 25 \times 100$

$= 2500$

সুতরাং, প্রদেয় সুদের ধারাটি হলো $1 + 3 + 5 + \cdots$ এবং মোট সুদের পরিমাণ $2500$ টাকা। Answer