সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১১

১১ $9+7+5+ \cdots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $-200$

• (ক) $5+9+13+17+ \cdots$ সমান্তর ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির কত তম পদ $-11$?
• (গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমান্তর ধারাটি হলো: $5+9+13+17+ \cdots$

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 9-5 = 4$

পদসংখ্যা, $n = 10$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি, $S_{10} = \dfrac{10}{2}\left\{2 \cdot 5+(10-1)4\right\}$

$= 5(10+9 \times 4)$

$= 5(10+36)$

$= 5 \times 46$

$= 230$

সুতরাং, ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি $230$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, প্রদত্ত ধারাটি হলো: $9+7+5+ \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 9$

সাধারণ অন্তর, $d = 7-9 = -2$

ধরি, ধারাটির $p$ তম পদ $= -11$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $= a+(p-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(p-1)d = -11$

বা, $9+(p-1)(-2) = -11$

বা, $(p-1)(-2) = -11 - 9$

বা, $(p-1)(-2) = -20$

বা, $p-1 = \dfrac{-20}{-2}$

বা, $p-1 = 10$

বা, $p = 10 + 1$

$\therefore p = 11$

সুতরাং, ধারাটির $11$ তম পদ $-11$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘খ’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = 9$ এবং সাধারণ অন্তর $d = -2$

দেওয়া আছে, $n$ সংখ্যক পদের যোগফল, $S_n = -200$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} = -200$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2(9)+(n-1)(-2)\right\} = -200$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{18 - 2n + 2\right\} = -200$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{20 - 2n\right\} = -200$

বা, $\dfrac{n}{2} \cdot 2(10 - n) = -200$

বা, $n(10 - n) = -200$

বা, $10n - n^2 = -200$

বা, $-n^2 + 10n + 200 = 0$

বা, $n^2 - 10n - 200 = 0$    [উভয়পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $n^2 - 20n + 10n - 200 = 0$

বা, $n(n - 20) + 10(n - 20) = 0$

বা, $(n - 20)(n + 10) = 0$

হয়,

$n - 20 = 0$

$\therefore n = 20$

অথবা,

$n + 10 = 0$

$\therefore n = -10$

যেহেতু পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -10$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n$ এর মান $20$। Answer