সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১৬

১৬ একটি সমান্তর ধারার $m$ তম পদ $m$ এবং $n$ তম পদ $n$

• (ক) সমান্তর ধারার সাধারণ পদ ও $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র লিখ।
• (খ) সমান্তর ধারাটির $(m+n-2)$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) $m=5$ হলে, ধারাটির প্রথম $50$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ (বা $r$ তম পদ) $= a+(r-1)d$

সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

সুতরাং, নির্ণেয় সূত্র দুইটি হলো: $a+(r-1)d$ এবং $\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $r$ তম পদ $= a+(r-1)d$

প্রশ্নমতে,

$m$ তম পদ, $a+(m-1)d = m$ -------- (i)

$n$ তম পদ, $a+(n-1)d = n$ -------- (ii)

সমীকরণ (i) থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$\{a+(m-1)d\} - \{a+(n-1)d\} = m - n$

বা, $a+md-d-a-nd+d = m - n$

বা, $md-nd = m - n$

বা, $d(m-n) = m - n$

বা, $d = \dfrac{m-n}{m-n}$

$\therefore d = 1$

$d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a + (m-1)1 = m$

বা, $a + m - 1 = m$

বা, $a = m - m + 1$

$\therefore a = 1$

এখন, ধারাটির $(m+n-2)$ তম পদ $= a+(m+n-2-1)d$

$= a+(m+n-3)d$

$= 1+(m+n-3)1$

$= 1+m+n-3$

$= m+n-2$

সুতরাং, ধারাটির $(m+n-2)$ তম পদ $m+n-2$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘খ’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 1$

এখানে উদ্দীপকে $m=5$ দেওয়া থাকলেও, ধারাটির ১ম পদ ($a$) ও সাধারণ অন্তর ($d$) এর মান $m$ এর উপর নির্ভরশীল নয় (সব ক্ষেত্রেই তা $1$ হয়)।

দেওয়া আছে, পদসংখ্যা (যেহেতু প্রথম $50$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে), $p = 50$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $p$ পদের সমষ্টি, $S_p = \dfrac{p}{2}\left\{2a+(p-1)d\right\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $50$টি পদের সমষ্টি, $S_{50} = \dfrac{50}{2}\left\{2(1)+(50-1)1\right\}$

$= 25(2+49)$

$= 25 \times 51$

$= 1275$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $50$টি পদের সমষ্টি $1275$। Answer