সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ৫

৪ একটি সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\dfrac{n}{2}\left(3n+7\right)$ যখন $n \in N$

• (ক) ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $r$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $3925$ হলে, $r$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটির কোন পদ $383$?

(ক) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left(3n+7\right)$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি, $S_{10} = \dfrac{10}{2}\left(3 \times 10 + 7\right)$

$= 5(30+7)$

$= 5 \times 37$

$= 185$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $185$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n = \dfrac{n}{2}\left(3n+7\right)$

$\therefore r$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_r = \dfrac{r}{2}\left(3r+7\right)$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{r}{2}\left(3r+7\right) = 3925$

বা, $r(3r+7) = 3925 \times 2$

বা, $3r^2 + 7r = 7850$

বা, $3r^2 + 7r - 7850 = 0$

বা, $3r^2 + 157r - 150r - 7850 = 0$

বা, $r(3r + 157) - 50(3r + 157) = 0$

বা, $(3r + 157)(r - 50) = 0$

হয়,

$3r + 157 = 0$

বা, $3r = -157$

$\therefore r = -\dfrac{157}{3}$

অথবা,

$r - 50 = 0$

$\therefore r = 50$

যেহেতু পদসংখ্যা কখনো ভগ্নাংশ বা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $r = -\dfrac{157}{3}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $r$ এর মান $50$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই, ধারাটির $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left(3n+7\right)$

এখানে, $n=1$ হলে, ১ম পদের সমষ্টি (বা ১ম পদ),

$a = S_1 = \dfrac{1}{2}\left(3 \cdot 1 + 7\right) = \dfrac{1}{2}(10) = 5$

আবার, $n=2$ হলে, প্রথম ২টি পদের সমষ্টি,

$S_2 = \dfrac{2}{2}\left(3 \cdot 2 + 7\right) = 1(6+7) = 13$

$\therefore$ ধারাটির ২য় পদ $= S_2 - S_1 = 13 - 5 = 8$

এটি একটি সমান্তর ধারা যার ১ম পদ, $a = 5$ এবং সাধারণ অন্তর, $d = 8 - 5 = 3$

ধরি, ধারাটির $p$ তম পদ $= 383$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $= a+(p-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(p-1)d = 383$

বা, $5+(p-1)3 = 383$

বা, $(p-1)3 = 383 - 5$

বা, $(p-1)3 = 378$

বা, $p-1 = \dfrac{378}{3}$

বা, $p-1 = 126$

বা, $p = 126+1$

$\therefore p = 127$

সুতরাং, ধারাটির $127$ তম পদ $383$। Answer