প্রমাণ কর যে, √2, √3, √5, √7.... অমূলদ সংখ্যা

৯ম, ১০ম শ্রেণিতে আমরা অনেকে $ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11} \ldots \ldots \ldots$ অমূলদ সংখ্যার প্রমাণটি মুখস্ত করে ফেলি। কিছু বুঝি বা না বুঝি। আসুন আজ একটু বুঝে বুঝে পড়ার চেষ্টা করি।

বলে রাখি এখানের প্রমাণটি পরীক্ষার খাতায় লিখার জন্য নয় এটি শুধু নিজে বুঝার জন্য। পরীক্ষার খাতায় কিভাবে লিখবেন তা পরে আলোচনা করবো। তাহলে আসুন শুরু করি......

প্রমাণ কর যে, $ \sqrt{2}$ অমূলদ সংখ্যা।

আমরা জানি, বাস্তব সংখ্যা দুই প্রকার, যথা

(১) মূলদ সংখ্যা

      (i) পূর্ণ সংখ্যা

      (ii) সমীম ভগ্নাংশ সংখ্যা

(২) অমূলদ সংখ্যা

অর্থাৎ $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা এই তিনটির যে কোনো একটিতে অবশ্যই হতে হবে।

প্রথমেই ধরি, $ \sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যার দুইটি পার্ট (i) পূর্ণ সংখ্যা (ii) সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা।

প্রথমে, $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা কিনা তা প্রমাণ করার চেষ্টা করি,

আমরা জানি, স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যার $N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 \ldots \ldots \ldots$

এই $N$ এর ধারবাহিক সংখ্যাগুলোর কিছুকে বর্গমূল করে পাই

$~~~ \sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{4} < \sqrt{5} < \ldots \ldots \ldots$

$= 1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < \sqrt{5}\ldots \ldots \ldots$

দেখা যাচ্ছে $ \sqrt{2}$ এর অবস্থান $1$ এবং $2$ পূর্ণসংখ্যাদ্বয়ের এর মধ্যবর্তী। অর্থাৎ $1$ থেকে বড়, $2$ থেকে ছোট। কিন্তু আমরা জানি, $1$ এবং $2$ এর মধ্যবর্তী কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই। সুতরাং $ \sqrt{2}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়।

বাকি রইলো, সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যা।

ধরি $ \sqrt{2}$ সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা।

ভগ্নাংশ সংখ্যা মানে এর হর এবং লব থাকতে হবে, ধরি হর $q$ এবং লব $p$,

ভগ্নাংশটির $p$ ও $q$ -কে কিছু শর্ত মানতে হবে, যেমন-

(i)  $p$ ও $q$ পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।

(ii) হর $q$ অবশ্যই $1$ থেকে বড় হতে হবে। কারণ ভগ্নাংশের নিচে যদি $1$ থাকে তবে সেটি কোনো ভগ্নাংশই নয়, যেমন ${5 \over 1} = 5$ হবে। তাই নিচের হরটি অবশ্যই $1$ অপেক্ষা বড় হতে হবে।

(iii) $p$ ও $q$ সহ মৌলিক হতে হবে। এখনে $3$ এবং $15$ এর দিকে লক্ষ্য করুন, এখানে $15$ কে $3$ দিয়ে পরিপূর্ণ ভাগ যায়। $4$ এবং $16$ একই রকম। অর্থাং $p$ ও $q$ সংখ্যাদ্বয় এমন হতে হবে, যেখানে এরা একে অপরকে পরিপূর্ণ ভাগ যাবে না। মানে সহমৌলিক হতে হবে।

সুতরাং $ \sqrt{2} =$ সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা ${p \over q}$

বা, $2 = {p^2 \over q^2}$ [ উভয় পক্ষকে বর্গ করে ]

অর্থাৎ, $2q = {p^2 \over q}$ [ উভয় পক্ষকে $q$ দ্বারা গুণ করে ]

এখানে বামপক্ষে $2q$ পূর্ণ সংখ্যা,

কারণ $2$ পূর্ণ সংখ্যা এবং শর্ত (i) অনুসারে $q$-ও পূর্ণসংখ্যা। যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে অন্য পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে পূর্ণ সংখ্যাই পাওয়া যায়। যেমন $3 \times 7 = 21, 5 \times 13 = 65$ ইত্যাদি। অর্থাৎ $2q$ একটি পূর্ণ সংখ্যা।

কিন্তু ডানপক্ষ ${p^2 \over q}$ পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ, শর্ত (iii) মতে $p$ ও $q$ সহ মৌলিক, এরা নিজেরাই একে অপকে পূর্ণভাবে ভাগ যাবে না, এবং এর একটিকে বর্গকরলেও অপরটি দ্বারা পূর্ণভাবে ভাগ যাবে না। সুতরাং ডানপক্ষ ${p^2 \over q}$ পূর্ণসংখ্যা নয়। যেখানে বামপক্ষ কিন্তু পূর্ণ সংখ্যা।

অর্থাৎ এখানে বামপক্ষ এবং ডানপক্ষ পরস্পর সমান নয়। মানে, $2q \neq {p^2 \over q}$

সুতরাং $ \sqrt{2}$ সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যাও নয়।

আমরা আগেই বলেছিলাম $ \sqrt{2}$ কে তিনটি শর্ত (পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা)-এর যেকোনো একটিতে হতে হবে। কিন্তু দেখা যাচ্ছে $ \sqrt{2}$ তিনটি শর্তের দুটির মধ্যেই পড়ে না, মানে পূর্ণ সংখ্যা নয়, ভগ্নাংশ সংখ্যাও নয়। সুতরাং $ \sqrt{2}$ অমূলদ সংখ্যাই।