সৃজনশীল : সমান্তর ধার : অনুশীলনী ১৩.১ - সমস্যা ২৪

 ২৪  কোনো সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, $l$ তম পদ $l^2$ এবং $k$ তম পদ $k^2$

• (ক) ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ তৈরি কর।
• (খ) $(l+k)$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর ধারাটির প্রথম $(l+k)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{l+k}{2}(l^2+k^2+l+k)$

$\{a+(l-1)d\} - \{a+(k-1)d\}=l^2-k^2$

বা, $a+(l-1)d - a-(k-1)d=l^2-k^2$

বা, $(l-1)d-(k-1)d=l^2-k^2$

বা, $d\{(l-1)-(k-1)\}=l^2-k^2$

বা, $d(l-1-k+1)=l^2-k^2$

বা, $d(l-k)=l^2-k^2$

বা, $d=\dfrac{l^2-k^2}{(l-k)}$

বা, $d=\dfrac{(l+k)(l-k)}{(l-k)}$

$\therefore d=l+k$

$a+(l+k-1)d$

$=a+ld+dk-d$

$=a+ld-d+dk$

$=a+(l-1)d+dk$

$=l^2+dk$ [($i$) নং অনুসারে]

$=l^2+(l+k)k$ [$d$ এর মান বসিয়ে]

$=l^2+kl+k^2$ [Answer]

$a+(l-1)d=l^2$

বা, $a+(l-1)(l+k)=l^2$

বা, $a+l^2-l+lk-k=l^2$

বা, $a=l^2-l^2+l-lk+k$

$\therefore a=l-lk+k$

$S_n=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

$S_{(l+k)}=\frac{l+k}{2}\{2(l-lk+k)+(l+k-1)d\}$

$=\frac{l+k}{2}\{2l-2lk+2k+dl+dk-d\}$

$=\frac{l+k}{2}\{l^2+k^2+l+k\}$ (প্রমাণিত)