২৯ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $7$; অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে $9$ বেশি।
- (ক) চলক $x$ এর মাধ্যমে প্রদত্ত সংখ্যাটি ও স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি লেখ।
- (খ) সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
- (গ) প্রদত্ত সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় যদি সেন্টিমিটারে কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্দেশ করে তবে ঐ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। কর্ণটিকে কোনো বর্গের বাহু ধরে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
মনে করি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $x$
$\therefore$ দশক স্থানীয় অঙ্ক $(7-x)$
$\therefore$ সংখ্যাটি $10(7-x)+x$$=70-10x+x$$=70-9x$
$\therefore$ অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয়,
$10x+(7-x)$
$=10x+7-x$
$=9x+7$ [Answer]
প্রশ্নমতে,
$70-9x=(9x+7)-9$
বা, $-9x-9x=7-9-70$
বা, $-18x=-72$
বা, $18x=72$
বা, $x=\frac{72}{18}$
$\therefore x=4$
$\therefore$ নির্নেয় সংখ্যাটি $70-9\times4$$=70-36$$=34$ [Answer]
তথ্যমতে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $AD=4$ সে.মি.
$\therefore$ প্রস্থ $CD=3$ সে.মি.
সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ $AC$ নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি,
$\triangle ABC$-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$AC^2=AB^2+BC^2$
বা, $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}$
বা, $AC=\sqrt{4^2+3^2}$
বা, $AC=\sqrt{16+9}$
বা, $AC=\sqrt{25}$
$\therefore AC=5$ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি. হলে নতুন বর্গক্ষেত্র $ABCD$ এর বহু $AB=BC=CD=AD=5$ সে.মি. হবে।
সুতরাং বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ $AC$ নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি,
$\triangle ABC$-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$AC^2=AB^2+BC^2$
বা, $AC^2=AB^2+AB^2$ [যেহেতু বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটা বাহু সমান]
বা, $AC^2=2AB^2$
বা, $AC^2=2\times 5^2$
বা, $AC=\sqrt{2 \times 5^2}$
বা, $AC=\sqrt{2} \times 5$
$\therefore AC=5\sqrt{2}$ সে.মি.
সুতরাং আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি. এবং বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt2$ সে.মি. [Answer]