সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১

১ একটি সমান্তর ধারার ষষ্ঠ পদ $30$ এবং একাদশতম পদ $55$।

• (ক) প্রথম পদকে $a$ এবং সাধারণ অন্তরকে $d$ ধরে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) উদ্দীপক অনুসারে ধারাটি গঠন কর।
• (গ) যদি ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $6375$ হয় তবে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ হলে,

$n$ তম পদ $=a+(n-1)d$

$\therefore$ ষষ্ঠ পদ $=a+(6-1)d=30$

বা, $a+5d=30$ ------(i)

এবং ১১তম পদ $=a+(11-1)d=55$

বা, $a+10d=55$ ------(ii)

সুতরাং, (i) ও (ii) -ই নির্ণেয় সমীকরণদ্বয়। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই,

$a+5d=30$ ------(i)

এবং $a+10d=55$ ------(ii)

(ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে,

$(a+10d)-(a+5d)=55-30$

বা, $a+10d-a-5d=25$

বা, $5d=25$

বা, $d=\dfrac{25}{5}$

$\therefore$ $d=5$

$d$ এর মান $ii$ নং সমীকরণে বসিয়ে,

$a+10d=55$

বা, $a+10 \times 5=55$

বা, $a+50=55$

বা, $a=55-50$

$\therefore$ $a=5$

অর্থাৎ ধারাটির,

১ম পদ $a=5$

২য় পদ $a+d=5+5=10$

৩য় পদ $a+2d=5+2 \cdot 5=5+10=15$

৪র্থ পদ $a+3d=5+3 \cdot 5=5+15=20$

$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$

সুতরাং, নির্ণেয় ধারাটি : $5+10+15+20+ \cdots \cdots \cdots$ Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘খ’ হতে পাই,

ধারাটির ১ম পদ, $a=5$ এবং সাধারণ অন্তর $d=5$

আমরা জানি, ১ম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ বিশিষ্ট সমান্তর ধারার $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}=6375$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2\cdot5+(n-1)5\right\}=6375$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{10+(n-1)5\right\}=6375$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{10+5n-5\right\}=6375$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{5n+5\right\}=6375$

বা, $\dfrac{n}{2}\cdot5\left(n+1\right)=6375$

বা, $n\cdot\dfrac52\left(n+1\right)=6375$

বা, $n\left(n+1\right)=6375\times\dfrac25$

বা, $n\left(n+1\right)=\overset{1275}{\bcancel{6375}}\times\frac2{\bcancel5}$

বা, $n\left(n+1\right)=2550$

বা, $n^2+n=2550$

বা, $n^2+n-2550=0$

বা, $n^2+51n-50n-2550=0$

বা, $n\left(n+51\right)-50\left(n+51\right)=0$

বা, $\left(n+51\right)\left(n-50\right)=0$

হয়,

$\left(n+51\right)=0$

$\therefore n=-51$

অথবা,

$\left(n-50\right)=0$

$\therefore n=50$

এখানে, $n=-51$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

সুতরাং, $n=50$ Answer