গাণিতিক যুক্তি
ল.সা.গু এবং গ.সা.গু
পার্ট - ১
- প্রাথমিক আলোচনা
- ল.সা.গু এবং গ.সা.গু সমস্যার সমাধান - ১
- ল.সা.গু এবং গ.সা.গু সমস্যার সমাধান - ২
১.২.১ কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সঙ্গে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
(ক) ২০৫
(খ) ১৪৪
(গ) ১০৫
(ঘ) ১৪১
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ১৪১
| ২ | ২৪, ৩৬, ৪৮ |
| ২ | ১২, ১৮, ২৪ |
| ২ | ৬, ৯, ১২ |
| ৩ | ৩, ৯, ৬ |
| ১, ৩, ২ |
$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১৪৪-৩ = ১৪১
১.২.২ কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সঙ্গে ১ যোগ করলে যোগফল ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
(ক) ১৭৯
(খ) ৩৬১
(গ) ৩৫৯
(ঘ) ৭২১
সমাধান
উত্তর : (ক) ১৭৯
| ৩ | ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ |
| ২ | ১, ২, ৩, ৪, ৫ |
| ১, ১, ৩, ২, ৫ | |
$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রমত সংখ্যাটি = ১৮০-১=১৭৯
১.২.৩ কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ৪, ৫ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৩ অবশিষ্ট থাকে?
(ক) ৩৩
(খ) ৪৩
(গ) ৫৩
(ঘ) ৬৩
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ৬৩
| ২ | ৪, ৫, ৬ |
| ২, ৫, ৩ |
$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রমত সংখ্যাটি = ৬০+৩=৬৩
১.২.৪ কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ১২ ও ১৬ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যাথাক্রমে ৫ ও ৯ হবে?
(ক) ৩৮
(খ) ৪০
(গ) ৪১
(ঘ) ৪২
সমাধান
উত্তর : (গ) ৪১
এখানে,১২-৫=৭
১৬-৯=৭
দেখা যাচ্ছে প্রতিক্ষেত্রে বিয়োগফল ৭
এখন, ১২ এবং ১৬ এর ল.সা.গু
| ২ | ১২, ১৬ |
| ২ | ৬, ৮ |
| ৩, ৪ |
$\therefore$ নির্ণেয় লঘিষ্ট সংখ্যাটি = ৪৮-৭=৪১
১.২.৫ নিচের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ৮, ৯, ১০, ১১ এবং ১২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?
(ক) ৭৯২০
(খ) ৫৯৪০
(গ) ৩৯৬০
(ঘ) ২৯৭০
সমাধান
উত্তর : (গ) ৩৯৬০
সংখ্যাটি হবে ৮, ৯, ১০, ১১ এবং ১২ এর ল.সা.গু।| ২ | ৮, ৯, ১০, ১১, ১২ |
| ২ | ৪, ৯, ৫, ১১, ৬ |
| ৩ | ২, ৯, ৫, ১১, ৩ |
| ২, ৩, ৫, ১১, ১ |
১.২.৬ সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?
(ক) ১২০
(খ) ১৮০
(গ) ২১০
(ঘ) ২২১
সমাধান
উত্তর : (গ) ২১০
মোট গাছের সংখ্যা হবে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ এর ল.সা.গু| ২ | ৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২ |
| ৩ | ৭, ৭, ২১, ৩৫, ২১ |
| ৭ | ৭, ৭, ৭, ৩৫, ৭ |
| ১, ১, ১, ৫, ১ |
১.২.৭ পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর (পরপর) বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
(ক) ১৩ মিনিট
(খ) ১৬ মিনিট
(গ) ১২ মিনিট
(ঘ) ১৪ মিনিট
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ১৪ মিনিট
নির্ণেয় সময় হবে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু| ২ | ৩, ৫, ৭, ৮, ১০ |
| ৫ | ৩, ৫, ৭, ৪, ৫ |
| ৩, ১, ৭, ৪, ১ |
$\therefore$ ঘণ্টাগুলো ৮৪০ সেকেন্ড বা ৮৪০$\div$৬০=১৪ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।
১.২.৮ নূন্যতম কতগুলো কমলালেবু ৪, ৬, ১০ অথবা ১৮ জন বালকের মধ্যে সমান ভাবে ভাগ করা যাবে?
(ক) ৪৩২০
(খ) ২১৬০
(গ) ২১৬
(ঘ) ১৮০
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ১৮০
| ২ | ৪, ৬, ১০, ১৮ |
| ৩ | ২, ৩, ৫, ৯ |
| ২, ১, ৫, ৩ |
$\therefore$ নূন্যতম ১৮০টি কমলালেবু হলে ৪, ৬, ১০ অথবা ১৮ জন বালকের মধ্যে সমান ভাবে ভাগ করা যাবে।
১.২.৯ কত জন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙ্গে ১৫৫টি কমলা এবং ১৩৫টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?
(ক) ৫
(খ) ১০
(গ) ১৫
(ঘ) ২৩
সমাধান
উত্তর : (ক) ৫
$১৫৫ = \boxed{৫} \times৩১$$১৩৫ = ৩\times৩\times৩\times\boxed{৫}$
নির্নেয় গ.সা.গু = ৫
১.২.১০ কতজন বালককে ১২৫ টি কমলালেবু এবং ১৪৫ টি কলা সমাভ ভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
(ক) ১৫
(খ) ৫
(গ) ১০
(ঘ) ৭
সমাধান
উত্তর : (খ) ৫
$১২৫ = \boxed{৫} \times৫\times৫$$১৪৫ = \boxed{৫} \times২৯$
নির্নেয় গ.সা.গু = ৫
১.২.১১ ৩০টি আম এবং ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করা যেতে পারে?
(ক) ৬ জন
(খ) ৯ জন
(গ) ৩ জন
(ঘ) ৫ জন
সমাধান
উত্তর : (ক) ৬ জন
$৩০ = \boxed{২} \times \boxed{৩} \times ৫$$৩৬ = \boxed{২} \times ২ \times \boxed{৩} \times ৩$
নির্নেয় গ.সা.গু = ৬
১.২.১২ কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে?
(ক) ১০
(খ) ১২
(গ) ১৪
(ঘ) ১৬
সমাধান
উত্তর : (খ) ১২
সহজ কথায় মনে রাখুন :এই ধরনের অংকগুলোতে যথাক্রমে যে সংখ্যাগুলো উল্লেখ থাকে সেগুলো মূল সংখ্যা থেকে বিয়োগ করে বিয়োগফলগুলোর গ.সা.গু করলেই উত্তর পাওয়া যাবে।
যেমন : ২৭-৩=২৪, ৪০-৪=৩৬ এবং ৬৫-৫=৬০ এখন এই ২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গু=১২
বিস্তারিত বোঝার জন্য বিশ্লেষণটি মনোযোগ সহকারে পড়ুন, এই ধরনের যত সমস্যা আছে এই একই নিয়মে হবে এটিই আগে ভালো করে বুঝুন :
অংকের অর্থ হলো অজানা বৃহত্তম সংখ্যাটি দ্বারা ২৭ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ৩ থাকবে, ৪০ কে ভাগ করতে গেলে ৪ এবং ৬৫ কে ভাগ করতে গেলে ৫ থাকবে। যদি অবশিষ্ট না থাকতো তবে অজানা সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ যেত। তাই যে সংখ্যাগুলো থাকার কারণে নিঃশেষে বিভাজ্য হচ্ছেনা সেগুলো বাদ দিয়ে দিলে যে সংখ্যাগুলো থাকবে সেগুলো অজানা সংখ্যাটি দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে না। এখন বিয়োগ করার পর ২৪, ৩৬, ৬০ পেলাম এবং এদের গ.সা.গু ১২। এই ১২ দিয়ে সবগুলোকে ভাগ করা যায়। কিন্তু এই ১২ দিয়ে ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে।
১.২.১৩ কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১০২ ও ১৮৫ কে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে?
(ক) ১০
(খ) ১২
(গ) ১৪
(ঘ) ১৬
সমাধান
উত্তর : (খ) ১২
১০২-৬=৯৬১৮৬-৬=১৮০
$৯৬ = \boxed{২} \times \boxed{২} \times ২ \times ২ \times ২ \times \boxed{৩}$
$১৮০ = \boxed{২} \times \boxed{২} \times \boxed{৩} \times ৩ \times ৫$
নির্নেয় গ.সা.গু = ১২
১.২.১৪ দু’টি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ.সা.গু ১৩। সংখ্যা দু’টির ল.সা.গু কত?
(ক) ২৬০
(খ) ২৬৫
(গ) ২৭০
(ঘ) ২৫০
সমাধান
উত্তর : (ক) ২৬০
ল.সা.গু = দু’টি সংখ্যার গুণফল⁄গ.সা.গু = $\frac{৩৩৮০}{১৩}$ = ২৬০১.২.১৫ দু’টি সংখ্যার গ.সা.গু ১৬ এবং ল.সা.গু ১৯২। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
(ক) ৬০
(খ) ৬২
(গ) ৬৪
(ঘ) ৬৮
সমাধান
উত্তর : (গ) ৬৪
ধারাবাহিক সমাধানদেওয়া আছে, একটি সংখ্যা = ৪৮
মনে করি, অপর সংখ্যাটি = ক
আমরা জানি, দু’টি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু
বা, ৪৮ $\times$ ক = ১৯২ $\times$ ১৬
বা, ক = $\frac {১৯২ \times ১৬}{৪৮}$ = ৬৪
শর্টকাট সমাধান
অপর সংখ্যা = ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু⁄একটি সংখ্যা = $\frac {১৯২ \times ১৬}{৪৮}$ = ৬৪
১.২.১৬ দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১১ এবং ল.সা.গু ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি-
(ক) ৩১২
(খ) ৩০৮
(গ) ৩১০
(ঘ) ৩১৫
সমাধান
উত্তর : (খ) ৩০৮
অপর সংখ্যা = ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু⁄একটি সংখ্যা = $\frac {১১ \times ৭৭০০}{২৭৫}$ = ৩০৮১.২.১৭ দুটি সংখ্যার গুণফল ৪৮ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু ২ হলে ল.সা.গু কত?
(ক) ২৫
(খ) ২৬
(গ) ২৪
(ঘ) ২৮
সমাধান
উত্তর : (গ) ২৪
ল.সা.গু = দুটি সংখ্যার গুণফল⁄গ.সা.গু = $\frac {৪৮}{২}$ = ২৪১.২.১৮ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৪ এবং তাদের ল.সা.গু ১৮০ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
(ক) ৪০
(খ) ৫০
(গ) ৬০
(ঘ) ৭০
সমাধান
উত্তর : (গ) ৬০
ধরি, সংখ্যা দুটি ৩ক এবং ৪ক [ এখানে ৪ > ৩, অর্থাৎ ৩ক ছোট সংখ্যা এবং ৪ক বড় সংখ্যা ]$\therefore$ তাদের ল.সা.গু = ১২ক
প্রশ্নমতে, ১২ক = ১৮০ বা, ক = $\frac{১৮০}{১২}$ = ১৫
$\therefore$ বড় সংখ্যাটি = ৪ক = ৪ $\times$ ১৫ = ৬০
১.২.১৯ দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৮ হলে তাদের ল.সা.গু কত?
(ক) ২১০
(খ) ২২০
(গ) ২৪৮
(ঘ) ২৪০
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ২৪০
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল $\times$ গ.সা.গু = ৫ $\times$ ৬ $\times$ ৮ = ২৪০১.২.২০ দুটি সংখ্যার অনুপাত ২:৩ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
(ক) ৬
(খ) ১২
(গ) ৮
(ঘ) ১৬
সমাধান
উত্তর : (খ) ১২
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল $\times$ গ.সা.গু = ২ $\times$ ৩ $\times$ ৪ = ২৪[ অনুপাতের রাশিগুলোর মধ্যে যে রাশিটি ছোট সেটি দিয়ে ল.সা.গু-কে ভাগ করলে বড় সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। ]
$\therefore$ বড় সংখ্যাটি ২৪$\div$২ = ১২
নোট : ছোট সংখ্যাটি ২৪$\div$৩ = ৮
১.২.২১ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৪। তাদের ল.সা.গু ১০৮। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?
(ক) ৫৫
(খ) ৫৬
(গ) ৬০
(ঘ) ৬৩
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ৬৩
বড় সংখ্যাটি = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু⁄অনুপাতের ছোট সংখ্যা = $\frac{১০৮}{৩}$ = ৩৬বড় সংখ্যাটি = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু⁄অনুপাতের বড় সংখ্যা = $\frac{১০৮}{৪}$ = ২৭
$\therefore$ সংখ্যা দুটির যোগফল = ৩৬ + ২৭ = ৬৩
১.২.২২ ৩টি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা যথাক্রমে ২ ঘণ্ট, ৩ ঘণ্টা ও ৪ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকলো। ১ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?
(ক) ১২ বার
(খ) ৬ বার
(গ) ৪ বার
(ঘ) ৩ বার
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ৩ বার
২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা পর পর ঘণ্টাগুলো আবার বাজবে, সুতরাং ২৪ ঘণ্টায় মোট বাজবে ২ বার। প্রথম বার ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজার পর পরবর্তী ২৪ ঘণ্টায় ২ বার অর্থাৎ প্রথম বার সহ ১ দিনে মোট ৩ বার ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজবে।
১.২.২৩ মজুদকৃত ২৬৮ টি আপেলের সাথে আরো নূন্যতম কতটি আপেল যোগ করলে তা ৬, ৭ বা ৮ জন ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
(ক) ৬৯
(খ) ৬৬
(গ) ৬৫
(ঘ) ৬৮
সমাধান
উত্তর : (ঘ) ৬৮
৬, ৭, ৮ এর ল.সা.গু হলো ১৬৮ অর্থাৎ ১৬৮ টি আপেল থাকলে সবাইকে নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যেত।| ১৬৮ | ) | ২৬৮ | ( | ১ |
| - | ১৬৮ | |||
| ১০০ |
১.২.২৪ তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০, ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
(ক) ১০
(খ) ৮
(গ) ৬
(ঘ) ১২
সমাধান
উত্তর : (ক) ১০
আমরা জানি, তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০এখন ৫, ১০, ১৫ এর ল.সা.গু
| ৫ | ৫, ১০, ১৫ |
| ১, ২, ৩ |
এখন, ১০০$\div$৩০=১০
ব্যাখ্যা :
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০। এখন ১০০ থেকে সবথেকে ছোট সংখ্যা বিয়োগ করলে তা ৫, ১০ এবং ১৫ দিয়ে ভাগ করা যায় তা বের করতে হবে। এখানে ৫, ১০, ১৫ এর ল.সা.গু ৩০ এবং ৩০ দিয়ে ১০০ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ১০ বের হবে। অর্থাৎ ১০০ সংখ্যাটিতে ১০ অতিরিক্ত আছে যা বিয়োগ করে দিলে প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যা ৯০ কে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।
১.২.২৫ দুইটি সংখ্যা গ.সা.গু ও ল.সা.গু এর গুণফল সংখ্যা দুইটির-
(ক) যোগফলের সমান
(খ) গুণফলের সমান
(গ) বিয়োগফলের সমান
(ঘ) ভাগফলের সমান
সমাধান
উত্তর : (খ) গুণফলের সমান
সূত্র : দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু