সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১০

১০ দৃশ্যকল্প-১: একটি সমান্তর ধারার প্রথম $19$টি পদের সমষ্টি $1881$ যার সাধারণ অন্তর $8$
দৃশ্যকল্প-২: $3+21+39+ \cdots$ একটি সমান্তর ধারা।

• (ক) $(-1)^n \dfrac{2}{3n+1}$ সাধারণ পদটির অনুক্রমটি লিখ।
• (খ) প্রমাণ কর যে, দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির প্রথম $(n+1)$ পদের সমষ্টির সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।
• (গ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটির $24$ তম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, সাধারণ পদ, $u_n = (-1)^n \dfrac{2}{3n+1}$

অনুক্রমটির প্রথম কয়েকটি পদ নির্ণয় করি:

$n=1$ হলে, ১ম পদ $= (-1)^1 \dfrac{2}{3(1)+1} = -1 \times \dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}$

$n=2$ হলে, ২য় পদ $= (-1)^2 \dfrac{2}{3(2)+1} = 1 \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{7}$

$n=3$ হলে, ৩য় পদ $= (-1)^3 \dfrac{2}{3(3)+1} = -1 \times \dfrac{2}{10} = -\dfrac{1}{5}$

$n=4$ হলে, ৪র্থ পদ $= (-1)^4 \dfrac{4}{3(4)+1} = 1 \times \dfrac{2}{13} = \dfrac{2}{13}$

সুতরাং, নির্ণেয় অনুক্রমটি হলো: $-\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{7}, -\dfrac{1}{5}, \dfrac{2}{13}, \cdots$ Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

সমান্তর ধারাটি হলো: $3+21+39+ \cdots$

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 3$

সাধারণ অন্তর, $d = 21 - 3 = 18$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $m$ পদের সমষ্টি $= \dfrac{m}{2}\left\{2a+(m-1)d\right\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $(n+1)$ পদের সমষ্টি, $S_{n+1} = \dfrac{n+1}{2}\left\{2a+(n+1-1)d\right\}$

$= \dfrac{n+1}{2}\left\{2 \cdot 3+n \cdot 18\right\}$

$= \dfrac{n+1}{2}\left\{6+18n\right\}$

$= \dfrac{n+1}{2} \cdot 2(3+9n)$

$= (n+1)(9n+3)$

$= 9n^2 + 3n + 9n + 3$

$= 9n^2 + 12n + 3$

এখন, এই সমষ্টির সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল হয়,

$= (9n^2 + 12n + 3) + 1$

$= 9n^2 + 12n + 4$

$= (3n)^2 + 2 \cdot (3n) \cdot 2 + 2^2$

$= (3n+2)^2$

যেহেতু $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই $(3n+2)^2$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $(n+1)$ পদের সমষ্টির সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে। Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর, $d = 8$

প্রথম $19$টি পদের সমষ্টি, $S_{19} = 1881$

ধরি, ধারাটির ১ম পদ $= a$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$S_{19} = \dfrac{19}{2}\left\{2a+(19-1)8\right\} = 1881$

বা, $\dfrac{19}{2}\left\{2a+18 \times 8\right\} = 1881$

বা, $\dfrac{19}{2}\left\{2a+144\right\} = 1881$

বা, $\dfrac{19}{2} \cdot 2(a+72) = 1881$

বা, $19(a+72) = 1881$

বা, $a+72 = \dfrac{1881}{19}$

বা, $a+72 = 99$

বা, $a = 99 - 72$

$\therefore a = 27$

এখন, ধারাটির $24$ তম পদ বের করতে হবে।

আমরা জানি, $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore 24$ তম পদ $= 27+(24-1)8$

$= 27+23 \times 8$

$= 27+184$

$= 211$

সুতরাং, দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটির $24$ তম পদ $211$। Answer