সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ৯

৮ একটি সমান্তর ধারার $12$ তম পদ $77$ এবং $19$ তম পদ $91$

• (ক) $7+12+17+ \cdots$ সমান্তর ধারাটির $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির প্রথম $37$ পদের সমষ্টি কত?
• (গ) ধারাটির কোন পদ $119$ তা নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমান্তর ধারাটি হলো: $7+12+17+ \cdots$

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 12-7 = 5$

পদসংখ্যা, $n = 25$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $25$টি পদের সমষ্টি, $S_{25} = \dfrac{25}{2}\left\{2 \cdot 7+(25-1)5\right\}$

$= \dfrac{25}{2}\left\{14+24 \times 5\right\}$

$= \dfrac{25}{2}\left\{14+120\right\}$

$= \dfrac{25}{2} \times 134$

$= 25 \times 67$

$= 1675$

সুতরাং, ধারাটির $25$টি পদের সমষ্টি $1675$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রথম শর্তমতে,

$12$ তম পদ $= 77$

বা, $a+(12-1)d = 77$

বা, $a+11d = 77$ -------- (i)

দ্বিতীয় শর্তমতে,

$19$ তম পদ $= 91$

বা, $a+(19-1)d = 91$

বা, $a+18d = 91$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+18d) - (a+11d) = 91 - 77$

বা, $a+18d - a - 11d = 14$

বা, $7d = 14$

বা, $d = \dfrac{14}{7}$

$\therefore d = 2$

$d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a + 11(2) = 77$

বা, $a + 22 = 77$

বা, $a = 77 - 22$

$\therefore a = 55$

এখন, ধারাটির প্রথম $37$ পদের সমষ্টি, $S_{37} = \dfrac{37}{2}\left\{2a+(37-1)d\right\}$

$= \dfrac{37}{2}\left\{2(55) + (37-1)2\right\}$

$= \dfrac{37}{2}\left\{110 + 36 \times 2\right\}$

$= \dfrac{37}{2}\left\{110 + 72\right\}$

$= \dfrac{37}{2} \times 182$

$= 37 \times 91$

$= 3367$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $37$ পদের সমষ্টি $3367$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘খ’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = 55$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 2$

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= 119$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 119$

বা, $55+(n-1)2 = 119$

বা, $(n-1)2 = 119 - 55$

বা, $(n-1)2 = 64$

বা, $n-1 = \dfrac{64}{2}$

বা, $n-1 = 32$

বা, $n = 32 + 1$

$\therefore n = 33$

সুতরাং, ধারাটির $33$ তম পদ $119$। Answer