সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ৮

৮ $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots$

• (ক) $8+11+14+17+ \cdots$ ধারাটির কোন পদ $395$?
• (খ) ধারাটির কোন পদ $\log 4096$?
• (গ) ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $1830 \log 2$ হলে, $n$ এর মান কত?

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $8+11+14+17+ \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 8$

সাধারণ অন্তর, $d = 11-8 = 3$

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= 395$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 395$

বা, $8+(n-1)3 = 395$

বা, $(n-1)3 = 395 - 8$

বা, $(n-1)3 = 387$

বা, $n-1 = \dfrac{387}{3}$

বা, $n-1 = 129$

বা, $n = 129 + 1$

$\therefore n = 130$

সুতরাং, ধারাটির ১৩০ তম পদ $395$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের ধারাটি হলো: $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots$

$= \log 2 + \log(2^2) + \log(2^3) + \cdots$

$= \log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = \log 2$

সাধারণ অন্তর, $d = 2\log 2 - \log 2 = \log 2$

ধরি, ধারাটির $p$ তম পদ $= \log 4096$

বা, $p$ তম পদ $= \log(2^{12})$

বা, $p$ তম পদ $= 12\log 2$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $= a+(p-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(p-1)d = 12\log 2$

বা, $\log 2+(p-1)\log 2 = 12\log 2$

বা, $\log 2 \{1 + (p-1)\} = 12\log 2$

বা, $\log 2 (1 + p - 1) = 12\log 2$

বা, $p\log 2 = 12\log 2$

উভয়পক্ষকে $\log 2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\therefore p = 12$

সুতরাং, ধারাটির $12$ তম পদ $\log 4096$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘খ’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = \log 2$ এবং সাধারণ অন্তর $d = \log 2$

দেওয়া আছে, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = 1830 \log 2$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} = 1830 \log 2$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2\log 2+(n-1)\log 2\right\} = 1830 \log 2$

বা, $\dfrac{n}{2} \cdot \log 2 \left\{2+(n-1)\right\} = 1830 \log 2$

বা, $\dfrac{n}{2} \cdot \log 2 (n+1) = 1830 \log 2$

উভয়পক্ষকে $\log 2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{n(n+1)}{2} = 1830$

বা, $n(n+1) = 1830 \times 2$

বা, $n^2 + n = 3660$

বা, $n^2 + n - 3660 = 0$

বা, $n^2 + 61n - 60n - 3660 = 0$

বা, $n(n + 61) - 60(n + 61) = 0$

বা, $(n + 61)(n - 60) = 0$

হয়,

$n + 61 = 0$

$\therefore n = -61$

অথবা,

$n - 60 = 0$

$\therefore n = 60$

যেহেতু পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -61$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n$ এর মান $60$। Answer