সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ২

২ ($i$) একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $a$, $q$ তম পদ $b$ এবং $r$ তম পদ $c$
($ii$) $\log2 + \log4 + \log8 + \cdots \cdots \cdots$ অপর একটি ধারা।

• (ক) $7 + 11 + 15 + \cdots \cdots \cdots$ ধারার $120$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) ($ii$) নং ধারাটির প্রথম $15$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) ($i$) নং এর সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে দেখাও যে, $a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমান্তর ধারাটি হলো: $7 + 11 + 15 + \cdots \cdots \cdots$

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a=7$

সাধারণ অন্তর, $d=11-7=4$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $=a+(n-1)d$

$\therefore 120$ তম পদ $=7+(120-1)4$

$=7+119 \times 4$

$=7+476$

$=483$

সুতরাং, ধারাটির $120$ তম পদ $483$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের ($ii$) নং হতে পাই,

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots \cdots \cdots$

$=\log 2 + \log(2^2) + \log(2^3) + \cdots \cdots \cdots$

$=\log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

যার ১ম পদ, $a=\log 2$

সাধারণ অন্তর, $d=2\log 2 - \log 2 = \log 2$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n=\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম $15$ পদের সমষ্টি, $S_{15}=\dfrac{15}{2}\left\{2 \cdot \log 2+(15-1)\log 2\right\}$

$=\dfrac{15}{2}\left\{2\log 2+14\log 2\right\}$

$=\dfrac{15}{2}\left\{16\log 2\right\}$

$=15 \times 8\log 2$

$=120\log 2$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $15$ পদের সমষ্টি $120\log 2$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

যেহেতু উদ্দীপকে $a, b, c$ দেওয়া আছে, তাই ধরি,

সমান্তর ধারার ১ম পদ $=A$ এবং সাধারণ অন্তর $=D$

আমরা জানি, $n$ তম পদ $=A+(n-1)D$

প্রশ্নমতে,

$p$ তম পদ, $A+(p-1)D=a$ -------- ($i$)

$q$ তম পদ, $A+(q-1)D=b$ -------- ($ii$)

$r$ তম পদ, $A+(r-1)D=c$ -------- ($iii$)

এখন, প্রমাণ করতে হবে যে, $a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$

বামপক্ষ $=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)$

($i$), ($ii$) ও ($iii$) নং হতে $a, b$ ও $c$ এর মান বসিয়ে পাই,

$=\left\{A+(p-1)D\right\}(q-r)+\left\{A+(q-1)D\right\}(r-p)+\left\{A+(r-1)D\right\}(p-q)$

$=A(q-r)+D(p-1)(q-r)+A(r-p)+D(q-1)(r-p)+A(p-q)+D(r-1)(p-q)$

$=A(q-r+r-p+p-q)+D\left\{(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)\right\}$

$=A(0)+D(pq-pr-q+r+qr-pq-r+p+pr-qr-p+q)$

$=0+D(0)$

$=0$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$ Proved