গণিত : লগারিদম : প্রাথমিক আলোচনা

গাণিতিক যুক্তি

প্রাথমিক আলোচনা

লগারিদম (Logarithm) গণিতের অন্যসব অধ্যায়ের চেয়ে অনেক বেশি সহজ এবং গুরুত্বপূর্ণ একটি অধ্যায়। 

পরীক্ষার জন্যে অবশ্যই জোর দিয়ে পড়ুন এই অধ্যায়। সেজন্যে আমরা লগারিদম (Logarithm) নিয়ে সাজিয়েছি আমাদের বিশেষ আয়োজন আর পুরো পোস্টটি জুড়ে যা থাকছে তারপর আপনাকে লগারিদম (Logarithm) নিয়ে আর কোনো ভাবনাই ভাবতে হবে না আশাকরি। তাহলে শুরু করা যাক: 

সূচকীয় রাশির মান বের করতে লগারিদম (Logarithm) ব্যবহার করা হয়। লগারিদমকে  সংক্ষেপে লগ (Log) বলা হয়। বড় সংখ্যা বা রাশির গুণকল, ভাগফল ইত্যাদি লগারিদমের সাহায্যে সহজে নির্ণয় করা যায়।

লগারিদম (Logarithm) : লগারিদম (Logarithm) হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। অর্থাৎ কোনো সংখ্যার লগারিদম হলো সেই সূচক যাকে একটি নির্ধারিত মানের (ভিত্তি/base) ঘাত (Power) হিসাবে উন্নীত করলে প্রথমোক্ত সংখ্যাটি ফিরে পাওয়া যায়। সহজভাবে বুঝতে উদাহরণটি দেখুন:

একটি সংখ্যাকে বার বার গুণ করলে, লগারিদম সংখ্যাটিকে যতবার গুণ করা হয়েছিল তা নির্দেশ করে। যেমন: যেহেতু 10000 = 10 × 10 × 10 × 10 = $10^4$ তাই 10000 এর দশ ভিত্তিক লগারিদম হলো 4, 

অথবা, $\log_{10}\left(10000\right)=4$

সাধারণ সংজ্ঞা : কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয় , তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে বলে প্রথম রাশিটির লগারিদম। 

গাণিতিক সংজ্ঞা : যদি $a^x=b$ হয়, যেখানে a>0,  b>0 এবং a ≠ 1, তবে x কে বলা হয় b এর a ভিত্তিক লগারিদম। অর্থাৎ, $x=\log_{a}b$

(১) $a^x=b$ বলতে বুঝায় a মূল ভিত্তি (base), x হল তার ঘাত (power) এবং ফল (Result) হল b  অর্থাৎ $a^x=b$

আমরা যদি এটিকে লগারিদম নিয়মে লিখতে চাই তবে, $\log_{a}b=x$

(২) যদি $\log_{a}b=x$ এ বেস (base) না থাকে অর্থাৎ a না থেকে শুধু log b থাকে, তবে  বেস (base) হিসেবে 10 ধরা হয়। অর্থাৎ, $\log~b= \log_{10}b$

সুতরাং বেস (base) দেওয়া না থাকলে বেস হিসেবে সবসময় 10 ধরতে হবে। 

(৩) শুধু ধনাত্মক সংখ্যার লগারিদম আছে। শূন্য এবং ঋণাত্বক সংখ্যার লগারিদম হয় না৷ 

স্কটল্যান্ডের গণিতবিদ 'জন নেপিয়ার' (১৫৫০-১৬১৭) সর্বপ্রথম লগারিদম আবিষ্কার করেন। Logarithm যা Logos ও Arthimas দুটি গ্রীক শব্দের সমাহার। Logos অর্থ আলোচনা এবং Arthimas অর্থ সংখ্যা। অর্থাৎ, লগারিদম হলো বিশেষ সংখ্যার আলোচনা। 

লগারিদম কে দুই ভাগে ভাগ করা যায়। যথা—

স্বাভাবিক লগারিদম : এই লগারিদমে একটি অমেয় রাশি কে নিধান হিসাবে ব্যবহার করে বিভিন্ন ধনাত্মক বাস্তব রাশিকে নির্ণয় করা হয়। এই অমেয় নিধান রাশি বা স্বাভাবিক লগারিদম এর ভিত্তি হলো একটি গাণিতিক ধ্রুবক E । স্বাভাবিক লগারিদমকে নেপিয়ার লগারিদম ও বলা হয়। গণিতের কলনবিদ্যা (Calculus) ও পদার্থবিদ্যায় ডেরিভেটিভ (derivative) সহজ করতে এর ব্যবহার রয়েছে। তবে কোনো বিশেষ ক্ষেত্রে সমুদয় লগের একই নিধান থাকলে সেক্ষেত্রেও নিধানকে উহ্য রাখা হয়। যেমন : $\log_{e}x$ কে log x বা lnx লেখা হয়। যেখানে E বা e এর মান ≈২.৭১৮ অর্থাৎ e হচ্ছে 2 ও 3 এর মধ্যবর্তী একটি তুরীয় অমূলদ সংখ্যা। দ্বিমিক (বাইনারী) লগারিদম এ ভিত্তি হিসাবে 2 ব্যবহৃত হয় (অর্থাৎ base = ২) এবং এটা সাধারণত কম্পিউটার বিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়।  

সাধারণ লগারিদম : এই লগারিদমের নিধন 10. সাধারণত কোনো নিধন না থাকলে নিধনকে 10 ধরে নেওয়া হয়। একে ব্রিগসিয়ান লগারিদমও বলা হয়। বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যায় এর বহুবিধ ব্যবহার রয়েছে। 

উত্তর :  বেস এর স্থানে আমরা যদি ০ (শূণ্য) বসিয়ে ০ কে গুণ করতে থাকি, তাহলে যতবারই গুণ করি না কেন অর্থাৎ ০ এর উপর আমরা যত সূচকই দেই না কেন গুণফল (Argument) কিন্তু সবসময় ০ হবে।

অর্থাৎ,

$0 \times 0 = 0^2 = 0$

$0 \times 0 \times 0 = 0^3 = 0$

$0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0^4 = 0$

আর তাই base (বেস) হিসেবে শূন্য (০)  গ্রহণযোগ্যতা পায় না।

উত্তর : বেস এর স্থানে আমরা যদি 1 বসাই, তাহলে 0 এর মতো 1 কেও আমরা যতবারই গুণ করি না কেন অর্থাৎ 1 এর উপর যত সূচকই আমরা বসাই না কেন গুণফল (Argument) কিন্তু সবসময় 1 হবে।

অর্থাৎ,

আর তাই base (বেস) হিসেবে এক (১) গ্রহণযোগ্যতা পায় না।

এই অধ্যায় সম্পর্কিত সূত্রাবলী 

এই অধ্যায়ের প্রায় সব অংক সাধারণত সূত্রের সাহায্যে সহজেই করা যায়। তাই দ্রুত এবং নির্ভুল সমাধান পেতে সূত্রগুলো সবসময় মনে রাখুন। 

(১) $\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$

(গুণ থাকলে যোগ হয়।) 

(২) $\log_{a} \frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$

(ভাগ থাকলে বিয়োগ হয়।)

(৩) $\log_{a}M^n=n \log_{a}M$

(ভিত্তিমূলের উপর ভিত্তি, আবার ভিত্তি এর উপর পাওয়ার থাকলে পাওয়ারটি শুরুতে বসে।) 

(৪) $\log_{a}1=0$

(যে কোন ভিত্তিমূলের উপর ভিত্তি ১ হলে তার উত্তর ০ হয়।)

(৫) $\log_{a}a=1$ অর্থাৎ $\log_{10}10=1$

(ভিত্তিমূল এবং ভিত্তি মিলে গেলে তার উপর ১ হয়।)

(৬) $\log_{x}x^n=n$ অর্থাৎ $\log_{a}a^2=2$

(কখনো log এর ভিত্তিমূল এবং ভিত্তি সমান হয়, তাহলে ভিত্তিমূল এবং ভিত্তি উভয়ই উঠে যায় এবং ভিত্তির উপর যে পাওয়ার থাকে তাই উত্তরে লিখতে হয়।)

(৭) $\log~a+\log~b+\log~c = \log (abc)$

(log কমন নেওয়ার সময় যোগ থাকলে গুণ হয়।)

 

(৮) $\log~a - \log~b = \log \frac{a}{b}$

(log কমন নেওয়ার সময় বিয়োগ থাকলে ভাগ হয় এবং প্রথমটি উপরে বসে।)

(৯) $\log_{a}y=x$ হলে $a^x=y$

(সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র এটি এবং ৬০/৮০% অংক এটা দিয়েই হয়।) 

ব্যাখ্যা : কোন পাওয়ার = কোন মান দেওয়া থাকলে log তুলে দিয়ে ঐ পাওয়ার ও মানটি স্থান বদল করে অর্থাৎ পাওয়ার জায়গায় মানটি এবং মানের জায়গায় পাওয়ার বসে।) যেমন— 

$\log_{a}x=b$ হলে $a^b=x$ সম্ভব।

অর্থাৎ, $\log_{x}4=2$ হলে $x^2=4$ সম্ভব।

লগারিদম সম্পর্কে উপরোক্ত বিষয়গুলো খুব গুরুত্বপূর্ণ। আর তাই এগুলো মনোযোগ সহকারে পড়ুন এবং লগারিদম নিয়ে আমাদের গাণিতিক সমস্যাবলির বিস্তারিত আপডেট নিতে নিয়মিত ভিজিট করুন।