সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১৫

১৫ একটি ধারা $a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+ \cdots +p$ এর পদসংখ্যা $n$ এবং পদগুলোর সমষ্টি $S$

• (ক) $a=29$ এবং $d=-4$ হলে ধারাটির ৮ম পদ কত?
• (খ) ধারাটির $m$ তম পদ $n^2$ এবং $n$ তম পদ $m^2$ হলে, $(m+n)$ তম পদ কত?
• (গ) প্রমাণ কর যে, $S$ এর মান $\dfrac{n}{2} \left\{2a+(n-1)d\right\}$

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারার ১ম পদ, $a = 29$

সাধারণ অন্তর, $d = -4$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $r$ তম পদ $= a+(r-1)d$

$\therefore$ ৮ম পদ $= 29+(8-1)(-4)$

$= 29+7(-4)$

$= 29-28$

$= 1$

সুতরাং, ধারাটির ৮ম পদ $1$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $r$ তম পদ $= a+(r-1)d$

প্রশ্নমতে,

$m$ তম পদ, $a+(m-1)d = n^2$ -------- (i)

$n$ তম পদ, $a+(n-1)d = m^2$ -------- (ii)

সমীকরণ (i) থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$\{a+(m-1)d\} - \{a+(n-1)d\} = n^2 - m^2$

বা, $a+md-d-a-nd+d = n^2 - m^2$

বা, $md-nd = n^2 - m^2$

বা, $d(m-n) = (n-m)(n+m)$

বা, $d(m-n) = -(m-n)(m+n)$

উভয়পক্ষকে $(m-n)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\therefore d = -(m+n)$

এখন, $(m+n)$ তম পদ $= a+(m+n-1)d$

$= a+(m-1+n)d$

$= a+(m-1)d+nd$

$= n^2 + n\{-(m+n)\}$    [(i) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে]

$= n^2 - mn - n^2$

$= -mn$

সুতরাং, ধারাটির $(m+n)$ তম পদ $-mn$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$, সাধারণ অন্তর $= d$, পদসংখ্যা $= n$, শেষ পদ $= p$ এবং সমষ্টি $= S$

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ পর্যন্ত ক্রমানুসারে লিখে পাই,

$S = a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + (p-2d) + (p-d) + p$ -------- (i)

ধারাটিকে বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ পর্যন্ত লিখে পাই,

$S = p + (p-d) + (p-2d) + \cdots + (a+2d) + (a+d) + a$ -------- (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$2S = (a+p) + (a+p) + (a+p) + \cdots + (a+p)$

যেহেতু ধারাটিতে $n$ সংখ্যক পদ আছে, তাই ডানপক্ষে $(a+p)$ পদটি $n$ বার আছে।

বা, $2S = n(a+p)$

বা, $S = \dfrac{n}{2}(a+p)$

আবার, আমরা জানি, $n$ তম পদ (বা শেষ পদ), $p = a+(n-1)d$

এখন $p$ এর মান $S$ এর সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$S = \dfrac{n}{2}\{a+a+(n-1)d\}$

$\therefore S = \dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$ Proved