সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১৩

১৩ $10+13+16+ \cdots +289$ একটি ধারা।

• (ক) ধারাটির দশম পদ কত?
• (খ) ধারাটির কোন পদ $199$?
• (গ) প্রদত্ত ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $578$ হলে, $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $10+13+16+ \cdots +289$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 10$

সাধারণ অন্তর, $d = 13-10 = 3$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ধারাটির ১০ম পদ $= 10+(10-1)3$

$= 10+9 \times 3$

$= 10+27$

$= 37$

সুতরাং, ধারাটির দশম পদ $37$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = 10$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 3$

ধরি, ধারাটির $p$ তম পদ $= 199$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $= a+(p-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(p-1)d = 199$

বা, $10+(p-1)3 = 199$

বা, $(p-1)3 = 199 - 10$

বা, $(p-1)3 = 189$

বা, $p-1 = \dfrac{189}{3}$

বা, $p-1 = 63$

বা, $p = 63 + 1$

$\therefore p = 64$

সুতরাং, ধারাটির $64$ তম পদ $199$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ $a = 10$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 3$

দেওয়া আছে, প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = 578$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} = 578$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2(10)+(n-1)3\right\} = 578$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{20+3n-3\right\} = 578$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{3n+17\right\} = 578$

বা, $n(3n+17) = 578 \times 2$

বা, $3n^2 + 17n = 1156$

বা, $3n^2 + 17n - 1156 = 0$

বা, $3n^2 + 68n - 51n - 1156 = 0$

বা, $n(3n + 68) - 17(3n + 68) = 0$

বা, $(n - 17)(3n + 68) = 0$

হয়,

$n - 17 = 0$

$\therefore n = 17$

অথবা,

$3n + 68 = 0$

বা, $3n = -68$

$\therefore n = -\dfrac{68}{3}$

যেহেতু পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = -\dfrac{68}{3}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n$ এর মান $17$। Answer