সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ৪

৪ $9+7+5+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $-144$

• (ক) ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ নির্ণয় কর।
• (খ) ধারাটির কত তম পদ $-33$ নির্ণয় কর।
• (গ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $9+7+5+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 9$

সাধারণ অন্তর, $d = 7-9 = -2$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $r$ তম পদ $= a+(r-1)d$

$\therefore$ ৬ষ্ঠ পদ $= 9+(6-1)(-2)$

$= 9+5(-2)$

$= 9-10$

$= -1$

সুতরাং, ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ $-1$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 9$

সাধারণ অন্তর, $d = -2$

ধরি, ধারাটির $p$ তম পদ $= -33$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $= a+(p-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(p-1)d = -33$

বা, $9+(p-1)(-2) = -33$

বা, $(p-1)(-2) = -33 - 9$

বা, $(p-1)(-2) = -42$

বা, $p-1 = \dfrac{-42}{-2}$

বা, $p-1 = 21$

বা, $p = 21+1$

$\therefore p = 22$

সুতরাং, ধারাটির ২২ তম পদ $-33$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

‘ক’ হতে পাই, ধারাটির ১ম পদ, $a = 9$ এবং সাধারণ অন্তর, $d = -2$

উদ্দীপক হতে পাই, $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = -144$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} = -144$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2 \cdot 9 + (n-1)(-2)\right\} = -144$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{18 - 2n + 2\right\} = -144$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{20 - 2n\right\} = -144$

বা, $\dfrac{n}{2} \cdot 2(10 - n) = -144$

বা, $n(10 - n) = -144$

বা, $10n - n^2 = -144$

বা, $-n^2 + 10n + 144 = 0$

বা, $n^2 - 10n - 144 = 0$    [উভয়পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $n^2 - 18n + 8n - 144 = 0$

বা, $n(n - 18) + 8(n - 18) = 0$

বা, $(n - 18)(n + 8) = 0$

হয়,

$n - 18 = 0$

$\therefore n = 18$

অথবা,

$n + 8 = 0$

$\therefore n = -8$

কিন্তু পদসংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -8$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, $n$ এর মান $18$। Answer