দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান (৫.২)
১ $x$ কে চলক ধরে $a^2x+b=0$ সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?
(ক) $3$
(খ) $2$
(গ) $1$
(ঘ) $0$
$\therefore a^2x+b=0$ সমীকরণের চলক $x$ এর সর্বোচ্চ ঘাত $1$
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটির ঘাত $1$
২ নিচের কোনটি অভেদ?
(ক) $(x+1)^2+(x-1)^2=4x$
(খ) $(x+1)^2+(x-1)^2=2(x^2+1)$
(গ) $(a+b)^2+(a-b)^2=2ab$
(ঘ) $(a-b)^2=a^2+2ab+b^2$
(ক) $(x+1)^2+(x-1)^2$$=x^2+2x+1-x^2-2x+1$$=2(x^2+1) \neq 4x$
(খ) $(x+1)^2+(x-1)^2$$=x^2+2x+1-x^2-2x+1$$=2(x^2+1)=2(x^2+1)$
(গ) $(a+b)^2+(a-b)^2$$=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2$$=2(a^2+b^2) \neq 2ab$
(ঘ) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \neq a^2+2ab+b^2$
সুতরাং প্রদত্ত শর্তানুসারে অপশন (খ)ই সঠিক।
৩ $(x-4)^2=0$ সমীকরণের মূল কয়টি?
(ক) $1$ টি
(খ) $2$ টি
(গ) $3$ টি
(ঘ) $4$ টি
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের মূল $2$ টি।
তাছাড়া, $n$ ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণের মূল সংখ্যা $n$
৪ $x^2-x-12=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
(ক) $3,4$
(খ) $3,-4$
(গ) $-3,4$
(ঘ) $-3,-4$
বা, $x(x-4)+3(x-4)=0$
বা, $x(x-4)+3(x-4)=0$
বা, $(x-4)(x+3)=0$
$\therefore x=-3,4$
৫ $3x^2-x+5=0$ সমীকরণে $x$ এর সহগ কত?
(ক) $3$
(খ) $2$
(গ) $1$
(ঘ) $-1$
$3x^2-x+5=0$ সমীকরণে $x$ এর সাথে $(-1)$ গুণ আকারে আছে।
তাই $x$ এর সহগ $-1$
৬ দুইটি বীজগাণিতিক রাশি $x$ ও $y$ এর গুণফল $xy=0$ হলে
($i$) $x=0$ অথবা $y=0$
($ii$) $x=0$ এবং $y \neq 0$
($iii$) $x \neq 0$ এবং $y=0$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i$ ও $ii$
(খ) $ii$ ও $iii$
(গ) $i$ ও $iii$
(ঘ) $i$, $ii$ ও $iii$
৭ $x^2-(a+b)x+ab=0$ সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?
(ক) $\{a,b\}$
(খ) $\{a,-b\}$
(গ) $\{-a,b\}$
(ঘ) $\{-a,-b\}$
বা, $x^2-ax-bx+ab=0$
বা, $x(x-a)-b(x-a)=0$
বা, $(x-a)(x-b)=0$
$\therefore x=a,b$
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান সেট, $S=\{a,b\}$
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ এবং একক স্থানীয় অঙ্ক $x$
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ এবং একক স্থানীয় অঙ্ক $x$। এই তথ্যের আলোকে নিচের (৮ - ১০) প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
৮ সংখ্যাটি কত?
(ক) $2x$
(খ) $3x$
(গ) $12x$
(ঘ) $21x$
$\therefore$ দশক স্থানীয় অঙ্ক $2x$
$\therefore$ সংখ্যাটি $20 \cdot 2x+x=20x+x=21x$
৯ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?
(ক) $3x$
(খ) $4x$
(গ) $12x$
(ঘ) $21x$
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ হলে সংখ্যাটি হবে $10x+2x=12x$
১০ $x=2$ হলে, মূল সংখ্যার সাথে স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার পার্থক্য কত?
(ক) $18$
(খ) $20$
(গ) $34$
(ঘ) $36$
সমাধান কর (১১ - ১৭):
১১ $\left(y+5\right)\left(y-5\right)=24$
১২ $\left(\sqrt2x+3\right)\left(\sqrt3x-2\right)=0$
১৪ $\dfrac{3}{2z+1}+\dfrac{4}{5z-1}=2$
১৫ $\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{6\left(x-2\right)}{x-6}=1$
১৬ $\dfrac{x}{a}+\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{b}+\dfrac{b}{x}$
১৭ $\dfrac{x-a}{x-b}+\dfrac{x-b}{x-a}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$
সমাধান সেট নির্ণয় কর (১৮ - ২২):
১৮ $\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x+1}=2$
১৯ $\dfrac{x+7}{x+1}+\dfrac{2x+6}{2x+1}=5$
২০ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{x+a+b}$
২২ $\dfrac{\left(x+1\right)^3-\left(x-1\right)^3}{\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2}=2$
সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (২৩ - ৩৪):
২৩ দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $15$ এবং এদের গুণফল $56$; সংখ্যাটি কত?