৩১ একটি জমির ক্ষেত্রফল $192$ বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য $4$ মিটার কমালে এবং প্রস্থ $4$ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আবার জমিটির মাঝখানে $20$ সি.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকা হলো। বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা এর অর্ধেকের চেয়ে $2$ সে.মি. কম।
- (ক) জমিটির দৈর্ঘ্যকে $x$ এবং প্রস্থকে $y$ ধরে তথ্যগুলোকে সমীকরণে প্রকাশ কর।
- (খ) জমিটির পরিসীমা নির্ণয় কর।
- (গ) বৃত্তটির জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
$(x-4)(y+4)=192$
বা, $x(y+4)-4(y+4)=192$
বা, $xy+4x-4y-16=192$
বা, $192+4x-4y-16=192$ [$\because xy=192$]
বা, $4x-4y=192-192+16$
বা, $4(x-y)=16$
বা, $x-y=\frac{16}{4}$
বা, $x-y=4$
$\therefore x=4+y$ ----- ($iii$)
$(4+y)y=192$
বা, $4y+y^2=192$
বা, $y^2+4y-192=0$
বা, $y^2+16y-12y-192=0$
বা, $y(y+16)-12(y+16)=0$
বা, $(y+16)(y-12)=0$
$(y+16)=0$
$\therefore y=-16$
$(y-12)=0$
$\therefore y=12$
$\therefore$ প্রস্থ $y=12$ মিটার।
$=2(16+12)$ মিটার
$=2 \times 28$ মিটার
$=56$ মিটার [Answer]
$\therefore$ অর্ধ-জ্যা $AC=BC=\dfrac{x}{2}$ সে.মি.
$\therefore OC=\left(\dfrac{x}{2}-2\right)$ সে.মি.
ব্যাসার্ধ, $OA=10$ সে.মি. [দেওয়া আছে]
সমকোণী $\triangle AOC$ হতে পাই,
$AC^2+OC^2=OA^2$
বা, $\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{x}{2}-2\right)^2=\left(10\right)^2$
বা, $\dfrac{x^2}{4}+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{x}{2}\cdot2+2^2=100$
বা, $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^2}{4}-2x+4=100$
বা, $\dfrac{2x^2}{4}-2x+4=100$
বা, $\dfrac{x^2}{2}-2x+4-100=0$
বা, $\dfrac{x^2}{2}-2x-96=0$
বা, $\dfrac{x^2-4x-192}{2}=0$
বা, $x^2-4x-192=0\times2$
বা, $x^2-16x+12x-192=0$
বা, $x\left(x-16\right)+12\left(x-16\right)=0$
বা, $\left(x-16\right)\left(x+12\right)=0$
$\left(x-16\right)=0$
$\therefore x=16$
$\left(x+12\right)=0$
$\therefore x=-12$