সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬৯

৬৯ একটি $5183$ মিটার লম্বা ফিতা কেটে এমনভাবে টুকরা করা হলো যেন প্রথম টুকরাটির দৈর্ঘ্য $3$ মিটার এবং পরবর্তী প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরা থেকে $2$ মিটার বেশি হয়। ফলে টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য সমান্তর ধারা গঠন করে।

• (ক) ধারার সূত্রের সাহায্যে $41$ তম টুকরার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) মোট টুকরার সংখ্যা নির্ণয় কর।
• (গ) যদি ফিতাটির দৈর্ঘ্য $4657$ মিটার বেশি হতো এবং প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের তিনগুণ হতো। তাহলে কয়টি টুকরা করা যেত?

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, ফিতাটির টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য একটি সমান্তর ধারা গঠন করে।

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ (প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য), $a = 3$ মিটার

সাধারণ অন্তর (পরবর্তী ও পূর্ববর্তী টুকরার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য), $d = 2$ মিটার

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $= a + (n-1)d$

$\therefore$ ধারাটির $41$-তম পদ (অর্থাৎ $41$-তম টুকরার দৈর্ঘ্য) $= 3 + (41-1)2$

$= 3 + 40 \times 2$

$= 3 + 80$

$= 83$

সুতরাং, $41$-তম টুকরার দৈর্ঘ্য $83$ মিটার। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

ফিতাটির মোট দৈর্ঘ্য $= 5183$ মিটার

ধরি, ফিতাটিকে মোট $n$ টি টুকরায় ভাগ করা হয়েছে।

তাহলে, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = 5183$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2(3) + (n-1)2\} = 5183$

বা, $\dfrac{n}{2} \{6 + 2n - 2\} = 5183$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2n + 4\} = 5183$

বা, $\dfrac{n}{2} \times 2(n + 2) = 5183$

বা, $n(n + 2) = 5183$

বা, $n^2 + 2n - 5183 = 0$

মিডল টার্ম ব্রেক করে পাই, (যেহেতু $73 \times 71 = 5183$)

বা, $n^2 + 73n - 71n - 5183 = 0$

বা, $n(n + 73) - 71(n + 73) = 0$

বা, $(n + 73)(n - 71) = 0$

হয়, $n + 73 = 0 \implies n = -73$

অথবা, $n - 71 = 0 \implies n = 71$

যেহেতু টুকরার সংখ্যা $n$ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -73$ গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore n = 71$

সুতরাং, ফিতাটির মোট টুকরার সংখ্যা $71$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

ফিতাটির দৈর্ঘ্য $4657$ মিটার বেশি হলে, মোট দৈর্ঘ্য হতো $= 5183 + 4657 = 9840$ মিটার।

নতুন শর্তানুসারে, প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য $= 3$ মিটার এবং প্রতিটি টুকরার দৈর্ঘ্য তার পূর্ববর্তী টুকরার তিনগুণ।

ফলে এটি একটি গুণোত্তর ধারা গঠন করে।

এখানে,

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অনুপাত, $r = 3 > 1$

ধরি, এই ক্ষেত্রে মোট টুকরার সংখ্যা $n$।

তাহলে, গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = 9840$

যেহেতু $r > 1$, তাই সমষ্টির সূত্র: $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 9840$

বা, $\dfrac{3(3^n - 1)}{2} = 9840$

বা, $3(3^n - 1) = 9840 \times 2$

বা, $3(3^n - 1) = 19680$

বা, $3^n - 1 = \dfrac{19680}{3}$

বা, $3^n - 1 = 6560$

বা, $3^n = 6560 + 1$

বা, $3^n = 6561$

এখন, $6561$ কে $3$ এর সূচক হিসেবে প্রকাশ করি:

$3^n = 3^8$    [যেহেতু $3^8 = 6561$]

ভিত্তি সমান হওয়ায় সূচকগুলোও সমান হবে,

$\therefore n = 8$

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে ফিতাটিকে মোট $8$ টি টুকরা করা যেত। Answer

Previous See All Next