সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬৮

৬৮ দৃশ্যকল্প-১: একটি গুণোত্তর ধারার ৫ম পদ $\dfrac{2\sqrt3}{9}$ এবং দশম পদ $\dfrac{8\sqrt2}{81}$
দৃশ্যকল্প-২: $\dfrac{1}{\sqrt2}-1+\sqrt2- \cdots \cdots \cdots$

• (ক) $1+2+3+4+ \cdots \cdots \cdots +99=$ কত?
• (খ) দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত ধারাটির তৃতীয় পদ কত?
• (গ) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত ধারাটির কোন পদ $8\sqrt2$?

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি: $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots \cdots \cdots + 99$

এটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার ধারা, যার পদসংখ্যা $n = 99$

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

$\therefore$ ধারাটির সমষ্টি, $S_{99} = \dfrac{99(99+1)}{2}$

$= \dfrac{99 \times 100}{2}$

$= 99 \times 50$

$= 4950$

সুতরাং, নির্ণেয় যোগফল $4950$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৫ম পদ $= \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $ar^{5-1} = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $ar^4 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$ ........ (i)

এবং ১০ম পদ $= \dfrac{8\sqrt2}{81}$

বা, $ar^{10-1} = \dfrac{8\sqrt2}{81}$

বা, $ar^9 = \dfrac{8\sqrt2}{81}$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে সমীকরণ (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^9}{ar^4} = \dfrac{\dfrac{8\sqrt2}{81}}{\dfrac{2\sqrt3}{9}}$

বা, $r^5 = \dfrac{8\sqrt2}{81} \times \dfrac{9}{2\sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{4\sqrt2}{9\sqrt3}$

এখন, ডানপক্ষকে সূচকে প্রকাশ করি:

$r^5 = \dfrac{2^2 \cdot \sqrt2}{3^2 \cdot \sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{(\sqrt2)^4 \cdot \sqrt2}{(\sqrt3)^4 \cdot \sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{(\sqrt2)^5}{(\sqrt3)^5}$

বা, $r^5 = \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^5$

$\therefore r = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$

আমাদেরকে ধারাটির তৃতীয় পদ নির্ণয় করতে হবে।

৩য় পদ $= ar^{3-1} = ar^2$

সমীকরণ (i) হতে পাই, $ar^4 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $ar^2 \cdot r^2 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $ar^2 \cdot \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^2 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $ar^2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $ar^2 = \dfrac{2\sqrt3}{9} \times \dfrac{3}{2}$

বা, $ar^2 = \dfrac{\sqrt3}{3}$

বা, $ar^2 = \dfrac{\sqrt3}{(\sqrt3)^2}$

$\therefore ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$

সুতরাং, ধারাটির তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত ধারাটি হলো: $\dfrac{1}{\sqrt2} - 1 + \sqrt2 - \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

প্রথম পদ, $a = \dfrac{1}{\sqrt2}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{-1}{\dfrac{1}{\sqrt2}} = -1 \times \sqrt2 = -\sqrt2$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= 8\sqrt2$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

$ar^{n-1} = 8\sqrt2$

বা, $\dfrac{1}{\sqrt2} (-\sqrt2)^{n-1} = 8\sqrt2$

বা, $(-\sqrt2)^{n-1} = 8\sqrt2 \times \sqrt2$

বা, $(-\sqrt2)^{n-1} = 8 \times 2$

বা, $(-\sqrt2)^{n-1} = 16$

এখন, $16$ কে $(-\sqrt2)$ এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করি:

$16 = 2^4 = \left((\sqrt2)^2\right)^4 = (\sqrt2)^8 = (-\sqrt2)^8$

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়,

$(-\sqrt2)^{n-1} = (-\sqrt2)^8$

যেহেতু ভিত্তি সমান, তাই সূচকগুলোও সমান হবে:

$n - 1 = 8$

বা, $n = 8 + 1$

$\therefore n = 9$

সুতরাং, ধারাটির $9$-তম পদ $8\sqrt2$। Answer

Previous See All Next