সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬৭

৬৭ (i) $3+5+7+9+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $168$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{-\sqrt2}{2}$ এবং ৯ম পদ $\dfrac{-\sqrt2}{16}$

• (ক) $\dfrac{1}{\sqrt3}-1+\sqrt3- \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $27\sqrt3$?
• (খ) (i) নং হতে $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং হতে ধারাটির প্রথম $9$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি: $\dfrac{1}{\sqrt3} - 1 + \sqrt3 - \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

প্রথম পদ, $a = \dfrac{1}{\sqrt3}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{-1}{\dfrac{1}{\sqrt3}} = -1 \times \sqrt3 = -\sqrt3$

ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ $= 27\sqrt3$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

$ar^{n-1} = 27\sqrt3$

বা, $\dfrac{1}{\sqrt3} (-\sqrt3)^{n-1} = 27\sqrt3$

বা, $(-\sqrt3)^{n-1} = 27\sqrt3 \times \sqrt3$

বা, $(-\sqrt3)^{n-1} = 27 \times 3$

বা, $(-\sqrt3)^{n-1} = 81$

বা, $(-\sqrt3)^{n-1} = (-\sqrt3)^8$    [যেহেতু $(-\sqrt3)^8 = 3^4 = 81$]

বা, $n - 1 = 8$

$\therefore n = 9$

সুতরাং, ধারাটির $9$-তম পদ $27\sqrt3$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

প্রদত্ত সমান্তর ধারাটি: $3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \cdots \cdots \cdots$

এখানে,

প্রথম পদ, $a = 3$

সাধারণ অন্তর, $d = 5 - 3 = 2$

দেওয়া আছে, প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = 168$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2(3) + (n-1)2\} = 168$

বা, $\dfrac{n}{2} \{6 + 2n - 2\} = 168$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2n + 4\} = 168$

বা, $\dfrac{n}{2} \times 2(n + 2) = 168$

বা, $n(n + 2) = 168$

বা, $n^2 + 2n - 168 = 0$

বা, $n^2 + 14n - 12n - 168 = 0$

বা, $n(n + 14) - 12(n + 14) = 0$

বা, $(n + 14)(n - 12) = 0$

হয়, $n + 14 = 0 \implies n = -14$

অথবা, $n - 12 = 0 \implies n = 12$

যেহেতু পদসংখ্যা $n$ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $n = -14$ গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore n = 12$

সুতরাং, $n$ এর মান $12$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৩য় পদ, $ar^{3-1} = \dfrac{-\sqrt2}{2}$

বা, $ar^2 = -\dfrac{1}{\sqrt2}$ ........ (i)    [যেহেতু $\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$]

এবং ৯ম পদ, $ar^{9-1} = \dfrac{-\sqrt2}{16}$

বা, $ar^8 = -\dfrac{\sqrt2}{16}$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^8}{ar^2} = \dfrac{\dfrac{-\sqrt2}{16}}{-\dfrac{1}{\sqrt2}}$

বা, $r^6 = \left( -\dfrac{\sqrt2}{16} \right) \times \left(-\dfrac{\sqrt2}{1}\right)$

বা, $r^6 = \dfrac{2}{16}$

বা, $r^6 = \dfrac{1}{8}$

বা, $r^6 = \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^6$

$\therefore r = \pm \dfrac{1}{\sqrt2}$

যখন $r = \dfrac{1}{\sqrt2}$ :

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$a \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2 = -\dfrac{1}{\sqrt2}$

বা, $a \times \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt2}$

$\therefore a = -\sqrt2$

যেহেতু $r = \dfrac{1}{\sqrt2} < 1$, তাই প্রথম $9$টি পদের সমষ্টি,

$S_9 = \dfrac{a(1 - r^9)}{1 - r}$

$= \dfrac{-\sqrt2 \left\{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^9\right\}}{1 - \dfrac{1}{\sqrt2}}$

$= \dfrac{-\sqrt2 \left(1 - \dfrac{1}{16\sqrt2}\right)}{\dfrac{\sqrt2 - 1}{\sqrt2}}$

$= \dfrac{-\sqrt2 \left(\dfrac{16\sqrt2 - 1}{16\sqrt2}\right)}{\dfrac{\sqrt2 - 1}{\sqrt2}}$

$= \dfrac{-(16\sqrt2 - 1)}{16} \times \dfrac{\sqrt2}{\sqrt2 - 1}$

লব ও হরকে $(\sqrt2 + 1)$ দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন করি,

$= \dfrac{(1 - 16\sqrt2)\sqrt2(\sqrt2 + 1)}{16(\sqrt2 - 1)(\sqrt2 + 1)}$

$= \dfrac{(1 - 16\sqrt2)(2 + \sqrt2)}{16(2 - 1)}$

$= \dfrac{2 + \sqrt2 - 32\sqrt2 - 32}{16}$

$= \dfrac{-30 - 31\sqrt2}{16}$

$= -\dfrac{30 + 31\sqrt2}{16}$

যখন $r = -\dfrac{1}{\sqrt2}$ :

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$a \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2 = -\dfrac{1}{\sqrt2} \implies a = -\sqrt2$

যেহেতু $r = -\dfrac{1}{\sqrt2} < 1$, তাই প্রথম $9$টি পদের সমষ্টি,

$S_9 = \dfrac{a(1 - r^9)}{1 - r}$

$= \dfrac{-\sqrt2 \left\{1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^9\right\}}{1 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)}$

$= \dfrac{-\sqrt2 \left(1 + \dfrac{1}{16\sqrt2}\right)}{1 + \dfrac{1}{\sqrt2}}$

$= \dfrac{-\sqrt2 \left(\dfrac{16\sqrt2 + 1}{16\sqrt2}\right)}{\dfrac{\sqrt2 + 1}{\sqrt2}}$

$= \dfrac{-(16\sqrt2 + 1)}{16} \times \dfrac{\sqrt2}{\sqrt2 + 1}$

লব ও হরকে $(\sqrt2 - 1)$ দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন করি,

$= \dfrac{-(16\sqrt2 + 1)\sqrt2(\sqrt2 - 1)}{16(\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1)}$

$= \dfrac{(-16\sqrt2 - 1)(2 - \sqrt2)}{16(2 - 1)}$

$= \dfrac{-32\sqrt2 + 32 - 2 + \sqrt2}{16}$

$= \dfrac{30 - 31\sqrt2}{16}$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $9$টি পদের সমষ্টি $-\dfrac{30 + 31\sqrt2}{16}$ অথবা $\dfrac{30 - 31\sqrt2}{16}$। Answer

Previous See All Next