সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ২৩

২৩ কোনো সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর $2$ এবং ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $120$ এবং একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $5$ ও চতুর্থ পদ $625$

• (ক) $1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +10^3$ ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারাটির $15$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $7$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +10^3$

আমরা জানি,

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

$\therefore 1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +10^3 = \left\{\dfrac{10(10+1)}{2}\right\}^2$

$= \left(\dfrac{10 \times 11}{2}\right)^2$

$= (55)^2$

$= 3025$

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি $3025$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির ১ম পদ $= a$

দেওয়া আছে, সাধারণ অন্তর, $d = 2$

এবং ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি, $S_{10} = 120$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

শর্তমতে,

$\dfrac{10}{2}\left\{2a+(10-1)d\right\} = 120$

বা, $5(2a+9d) = 120$

বা, $2a+9 \times 2 = \dfrac{120}{5}$

বা, $2a+18 = 24$

বা, $2a = 24 - 18$

বা, $2a = 6$

$\therefore a = 3$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ সমান্তর ধারাটির $15$ তম পদ $= a+(15-1)d$

$= 3+14 \times 2$

$= 3+28$

$= 31$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির $15$ তম পদ $31$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত $= r$

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, $a = 5$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

শর্তমতে, চতুর্থ পদ, $ar^{4-1} = 625$

বা, $ar^3 = 625$

বা, $5 \cdot r^3 = 625$

বা, $r^3 = \dfrac{625}{5}$

বা, $r^3 = 125$

বা, $r^3 = 5^3$

$\therefore r = 5$    [যেখানে $r > 1$]

যেহেতু $r > 1$, তাই গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore$ গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $7$টি পদের সমষ্টি, $S_7 = \dfrac{5(5^7 - 1)}{5 - 1}$

$= \dfrac{5(78125 - 1)}{4}$

$= \dfrac{5 \times 78124}{4}$

$= \dfrac{390620}{4}$

$= 97655$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম $7$টি পদের সমষ্টি $97655$। Answer

Previous See All Next