সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ২৪

২৪ $5+7+9+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $165$ এবং একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং দশম পদ $\dfrac{1}{81}$।

• (ক) $1^3 +2^3 +3^3+ \cdots \cdots \cdots +15^3$ ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) $n$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

আমরা জানি,

প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $= \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

অর্থাৎ, $1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +n^3 = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

$\therefore 1^3+2^3+3^3+ \cdots \cdots \cdots +15^3 = \left\{\dfrac{15(15+1)}{2}\right\}^2$

$= \left(\dfrac{15 \times 16}{2}\right)^2$

$= (15 \times 8)^2$

$= (120)^2$

$= 14400$

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি $14400$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি, $5+7+9+11+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a = 5$ এবং সাধারণ অন্তর, $d = 7-5 = 9-7 = 2$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $= \dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\} = 165$

বা, $\dfrac{n}{2}\left\{2(5)+(n-1)2\right\} = 165$

বা, $n\left\{10+2n-2\right\} = 165 \times 2$

বা, $n(8+2n) = 330$

বা, $n \cdot 2(4+n) = 330$

বা, $n(4+n) = 165$    [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $4n+n^2 = 165$

বা, $n^2+4n-165 = 0$

বা, $n^2+15n-11n-165 = 0$

বা, $n(n+15)-11(n+15) = 0$

বা, $(n+15)(n-11) = 0$

হয়,

$n - 11 = 0$

$\therefore n = 11$

অথবা,

$n + 15 = 0$

$\therefore n = -15$

কিন্তু $n = -15$ গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

সুতরাং, $n$ এর মান $11$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৩য় পদ, $ar^{3-1} = ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$ -------- (i)

আবার, দশম পদ, $ar^{10-1} = ar^9 = \dfrac{1}{81}$ -------- (ii)

(ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^9}{ar^2} = \dfrac{\dfrac{1}{81}}{\dfrac{1}{\sqrt3}}$

বা, $r^7 = \dfrac{1}{81} \times \sqrt3$

বা, $r^7 = \dfrac{\sqrt3}{81}$

বা, $r^7 = \dfrac{\sqrt3}{(\sqrt3)^8}$

বা, $r^7 = \dfrac{1}{(\sqrt3)^7}$

বা, $r^7 = \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^7$

$\therefore r = \dfrac{1}{\sqrt3}$

$\therefore$ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{1}{\sqrt3}$

$r$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$a\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a = \dfrac{3}{\sqrt3}$

$\therefore a = \sqrt3$

$\therefore$ ধারাটির ১ম পদ, $a = \sqrt3$

তাহলে ধারাটি $= a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + \sqrt3 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right) + \sqrt3 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2 + \sqrt3 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^3 + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + 1 + \sqrt3 \cdot \dfrac{1}{3} + \sqrt3 \cdot \dfrac{1}{3\sqrt3} + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + 1 + \dfrac{1}{\sqrt3} + \dfrac{1}{3} + \cdots \cdots$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি: $\sqrt3 + 1 + \dfrac{1}{\sqrt3} + \dfrac{1}{3} + \cdots \cdots$ Answer

Previous See All Next