সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১৯

১৯ একটি সমান্তর ধারার $19$ তম পদ $74$ এবং $26$ তম পদ $102$। একটি গুণোত্তর ধারা $\dfrac{1}{\sqrt3}+p+q+r+3\sqrt3$

• (ক) $1^2+2^2+3^2+ \cdots \cdots \cdots +10^2=$ কত?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটির $p$, $q$ ও $r$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপকের সমান্তর ধারাটির প্রথম $31$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $1^2+2^2+3^2+ \cdots \cdots \cdots +10^2$

এটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির একটি ধারা।

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি,

$S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

এখানে পদসংখ্যা, $n = 10$

$\therefore S_{10} = \dfrac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{6}$

$= \dfrac{10 \times 11 \times (20+1)}{6}$

$= \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6}$

$= \dfrac{2310}{6}$

$= 385$

সুতরাং, $1^2+2^2+3^2+ \cdots \cdots \cdots +10^2 = 385$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই, গুণোত্তর ধারাটি হলো: $\dfrac{1}{\sqrt3}+p+q+r+3\sqrt3$

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, $a = \dfrac{1}{\sqrt3}$

এবং সাধারণ অনুপাত $= s$ (যেহেতু প্রশ্নে $r$ আছে তাই সাধারণ অনুপাত $s$ ধরা হলো)

ধারাটিতে মোট পদ আছে ৫টি।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= as^{n-1}$

শর্তমতে,

৫ম পদ $= 3\sqrt3$

বা, $as^{5-1} = 3\sqrt3$

বা, $as^4 = 3\sqrt3$

$a$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\dfrac{1}{\sqrt3} \times s^4 = 3\sqrt3$

বা, $s^4 = 3\sqrt3 \times \sqrt3$

বা, $s^4 = 3 \times 3$

বা, $s^4 = 9$

বা, $s^4 = (\sqrt3)^4$

$\therefore s = \sqrt3$

এখন,

ধারাটির ২য় পদ, $p = as = \dfrac{1}{\sqrt3} \times \sqrt3 = 1$

ধারাটির ৩য় পদ, $q = as^2 = \dfrac{1}{\sqrt3} \times (\sqrt3)^2 = \dfrac{1}{\sqrt3} \times 3 = \sqrt3$

ধারাটির ৪র্থ পদ, $r = as^3 = \dfrac{1}{\sqrt3} \times (\sqrt3)^3 = \dfrac{1}{\sqrt3} \times 3\sqrt3 = 3$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $p = 1$, $q = \sqrt3$ এবং $r = 3$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore 19$ তম পদ $= a+(19-1)d = a+18d$

এবং $26$ তম পদ $= a+(26-1)d = a+25d$

প্রশ্নমতে,

$a+18d = 74$ -------- (i)

$a+25d = 102$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+25d) - (a+18d) = 102 - 74$

বা, $a+25d - a - 18d = 28$

বা, $7d = 28$

বা, $d = \dfrac{28}{7}$

$\therefore d = 4$

$d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a + 18(4) = 74$

বা, $a + 72 = 74$

বা, $a = 74 - 72$

$\therefore a = 2$

এখন, সমান্তর ধারাটির প্রথম $31$টি পদের সমষ্টি,

$S_{31} = \dfrac{31}{2}\left\{2a+(31-1)d\right\}$

$= \dfrac{31}{2}\left\{2(2) + 30(4)\right\}$

$= \dfrac{31}{2}\left\{4 + 120\right\}$

$= \dfrac{31}{2} \times 124$

$= 31 \times 62$

$= 1922$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির প্রথম $31$টি পদের সমষ্টি $1922$। Answer

Previous See All Next