সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১৮

১৮ (i) একটি সমান্তর ধারার $14$ তম পদ $37$ এবং $19$ তম পদ $52$
(ii) কোনো গুণোত্তর ধারার সপ্তম পদ $\dfrac{\sqrt2}{27}$ এবং দশম পদ $\dfrac{\sqrt2}{81\sqrt3}$

• (ক) $2-5-12-19 - \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির $15$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং হতে ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং হতে গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $2-5-12-19 - \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 2$

সাধারণ অন্তর, $d = -5 - 2 = -7$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore 15$ তম পদ $= 2+(15-1)(-7)$

$= 2+14(-7)$

$= 2-98$

$= -96$

সুতরাং, ধারাটির $15$ তম পদ $-96$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore 14$ তম পদ $= a+(14-1)d = a+13d$

এবং $19$ তম পদ $= a+(19-1)d = a+18d$

প্রশ্নমতে,

$a+13d = 37$ -------- (i)

$a+18d = 52$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$(a+18d) - (a+13d) = 52 - 37$

বা, $a+18d - a - 13d = 15$

বা, $5d = 15$

বা, $d = \dfrac{15}{5}$

$\therefore d = 3$

$d$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a + 13(3) = 37$

বা, $a + 39 = 37$

বা, $a = 37 - 39$

$\therefore a = -2$

এখন, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি, $S_{10} = \dfrac{10}{2}\left\{2a+(10-1)d\right\}$

$= 5\left\{2(-2)+9(3)\right\}$

$= 5(-4+27)$

$= 5(23)$

$= 115$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $10$ পদের সমষ্টি $115$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৭ম পদ,

$ar^{7-1} = ar^6 = \dfrac{\sqrt{2}}{27}$ -------- (i)

১০ম পদ,

$ar^{10-1} = ar^9 = \dfrac{\sqrt{2}}{81\sqrt{3}}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^9}{ar^6} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{81\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{2}}{27}}$

বা, $r^3 = \dfrac{\sqrt{2}}{81\sqrt{3}} \times \dfrac{27}{\sqrt{2}}$

বা, $r^3 = \dfrac{27}{81\sqrt{3}}$

বা, $r^3 = \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$

বা, $r^3 = \dfrac{1}{(\sqrt{3})^3}$

বা, $r^3 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$

$\therefore r = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \times \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^6 = \dfrac{\sqrt{2}}{27}$

বা, $a \times \dfrac{1}{27} = \dfrac{\sqrt{2}}{27}$

উভয়পক্ষকে $27$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\therefore a = \sqrt{2}$

অতএব, গুণোত্তর ধারাটির,

১ম পদ,

$a = \sqrt{2}$

২য় পদ,

$ar^{2-1} = ar = \sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

৩য় পদ,

$ar^{3-1} = ar^2 = \sqrt{2} \times \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো: $\sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{2}}{3} + \cdots \cdots$ Answer

Previous See All Next