সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩.১ - সৃজনশীল - ১৭

১৭ (i) একটি সমান্তর ধারার $13$ তম পদ $85$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ $3 \sqrt{3}$ এবং সপ্তম পদ $8$

• (ক) $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $181$? নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং উদ্দীপকের সাহায্যে ধারাটির ১ম $25$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{781}{24\left(2\sqrt{3}-3\right)}$

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $4+7+10+ \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 4$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 4 = 3$

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= 181$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 181$

বা, $4+(n-1)3 = 181$

বা, $(n-1)3 = 181 - 4$

বা, $(n-1)3 = 177$

বা, $n-1 = \dfrac{177}{3}$

বা, $n-1 = 59$

বা, $n = 59 + 1$

$\therefore n = 60$

সুতরাং, ধারাটির $60$ তম পদ $181$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, একটি সমান্তর ধারার $13$ তম পদ $85$

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore 13$ তম পদ $= a+(13-1)d = a+12d$

প্রশ্নমতে,

$a+12d = 85$ -------- (i)

এখন, ধারাটির প্রথম $25$টি পদের সমষ্টি,

$S_{25} = \dfrac{25}{2}\left\{2a+(25-1)d\right\}$

$= \dfrac{25}{2}(2a+24d)$

$= \dfrac{25}{2} \cdot 2(a+12d)$

$= 25(a+12d)$

$= 25 \times 85$    [(i) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে]

$= 2125$

সুতরাং, ধারাটির ১ম $25$টি পদের সমষ্টি $2125$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৪র্থ পদ, $ar^{4-1} = ar^3 = 3\sqrt{3}$ -------- (i)

৭ম পদ, $ar^{7-1} = ar^6 = 8$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^6}{ar^3} = \dfrac{8}{3\sqrt{3}}$

বা, $r^3 = \dfrac{2^3}{(\sqrt{3})^3}$

বা, $r^3 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$

$\therefore r = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$    [যেখানে $r > 1$]

$r^3$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \times \dfrac{8}{3\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$

বা, $a = \dfrac{3\sqrt{3} \times 3\sqrt{3}}{8}$

বা, $a = \dfrac{9 \times 3}{8}$

$\therefore a = \dfrac{27}{8}$

যেহেতু $r = \dfrac{2}{\sqrt{3}} > 1$, তাই গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore S_{10} = \dfrac{\dfrac{27}{8}\left\{\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{10} - 1\right\}}{\dfrac{2}{\sqrt{3}} - 1}$

$= \dfrac{\dfrac{27}{8}\left\{\dfrac{1024}{243} - 1\right\}}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{\dfrac{27}{8} \times \left(\dfrac{1024 - 243}{243}\right)}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{\dfrac{27}{8} \times \dfrac{781}{243}}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{\dfrac{\bcancel{27}}{8} \times \dfrac{781}{\underset{9}{\bcancel{243}}}}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{\dfrac{781}{8 \times 9}}{\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{781}{72} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

$= \dfrac{781\sqrt{3}}{72 \times \left(2-\sqrt{3}\right)}$

$= \dfrac{781\sqrt{3}}{24 \times 3 \times \left(2-\sqrt{3}\right)}$

$= \dfrac{781\sqrt{3}}{24 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \left(2-\sqrt{3}\right)}$

$= \dfrac{781 \cancel{\sqrt{3}}}{24 \times \cancel{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} \times \left(2-\sqrt{3}\right)}$

$= \dfrac{781}{24\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}$

$= \dfrac{781}{24\left(2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\right)}$

$= \dfrac{781}{24(2\sqrt{3} - 3)}$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{781}{24\left(2\sqrt{3}-3\right)}$। Showed

Previous See All Next