ধারাবাহিক অনুপাত (১১.২)
১ $a$, $b$, $c$ ক্রমিক সমানুপতিক হলে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $a^2=bc$
(খ) $b^2=ac$
(গ) $ab=bc$
(ঘ) $a=b=c$
২ আরিফ ও আকিবের বয়সের অনুপাত $5:3$, আরিফের বয়স $20$ বছর হলে, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত $7:5$ হবে?
(ক) $5$ বছর
(খ) $6$ বছর
(গ) $8$ বছর
(ঘ) $10$ বছর
৩ একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
(ক) $2$ গুণ
(খ) $3$ গুণ
(গ) $4$ গুণ
(ঘ) $6$ গুণ
৫ $b$, $a$, $c$ ক্রমিক সমানুপাতিক হলে
- ($i$) $a^2=bc$
- ($ii$) $\frac{b}{a}=\frac{c}{a}$
- ($iii$) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i$
(খ) $i$ ও $ii$
(গ) $i$ ও $iii$
(ঘ) $i$, $ii$ ও $iii$
$b$, $a$, $c$ ক্রমিক সমানুপাতিক হলে,
$b:a=a:c$
বা, $\frac{b}{a}=\frac{a}{c}$
বা, $\boxed{a^2=bc}$
বা, $\frac{a}{b}=\frac{c}{a}$
$\therefore \boxed{\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}}$
সুতরাং, তথ্য ($i$) ও ($iii$) সঠিক। তাহলে সঠিক উত্তর অপশন (গ)।
৬ $x:y=2:1$ এবং $y:z=2:1$ হলে
- ($i$) $x$, $y$, $z$ ক্রমিক সমানুপাতিক
- ($ii$) $z:x=1:4$
- ($iii$) $y^2+zx=4yz$
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) $i$ ও $ii$
(খ) $i$ ও $iii$
(গ) $ii$ ও $iii$
(ঘ) $i$, $ii$ ও $iii$
দেওয়া আছে,
$x:y=2:1$
বা, $x:y=(2\times2):(1\times2)$
$\therefore x:y=4:2$
আবার,
$y:z=2:1$
তাহলে, $x:y:z=4:2:1$
সুতরাং ($i$) $x$, $y$, $z$ ক্রমিক সমানুপাতিক, সঠিক
$x:y:z=4:2:1$ অর্থ $x=4$, $y=2$, $z=1$
তাহলে, $z:x=1:4$
সুতরাং ($ii$) $z:x=1:4$, সঠিক
যেহেতু $x$, $y$, $z$ ক্রমিক সমানুপাতিক
তাহলে,
$x:y = y:z$
বা, $\frac{x}{y}=\frac{y}{z}$
$\therefore y^2=zx$
এবং
$x:y=4:2$
বা, $\frac{x}{y}=\frac{4}{2}$
বা, $\frac{x}{y}=\frac{2}{1}$
$\therefore x=2y$
এখন প্রশ্নের ($iii$) নং এর বামপক্ষে $y^2=xz$ ও $x=2y$ বসিয়ে
$y^2+zx$
$=zx+zx$
$=2zx$
$=2z \times 2y$
$=4yz$
$=$ ডানপক্ষ
সুতরাং ($iii$) $y^2+zx=4yz$,ও সঠিক
অর্থাৎ $i$, $ii$ ও $iii$ সবগুলোই সঠিক।
৭ $\frac{a}{x}=\frac{m^2+n^2}{2mn}$ হলে $\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}}$ কত?
(ক) $\frac{m}{n}$
(খ) $\frac{m+n}{m-n}$
(গ) $\frac{m-n}{m+n}$
(ঘ) $\frac{n}{m}$
একটি ত্রিভুজের পরিসীমা $36$ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত $3:4:5$ হলে, নিচের ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
১০ $1$ ঘন সে.মি. কাঠের ওজন $7$ ডেসিগ্রাম। কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা কত ভাগ?
১৪ দুইটি সংখ্যার অনুপাত $5:7$ এবং গ.সা.গু. $4$ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. কত?
১৭ যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ $20\%$ বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
২৩ একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $5:12:13$ এবং পরিসীমা $30$ সে.মি.
- (ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং কোণ ভেদে ত্রিভুজটি কী ধরনের তা লেখ।
- (খ) বৃহত্তর বাহুকে দৈর্ঘ্য এবং ক্ষুদ্রতর বাহুকে প্রস্থ ধরে অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের বর্ণের সমান বাহুবিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
- (গ) উক্ত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $10\%$ এবং প্রস্থ $20\%$ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
২৪ একদিন কোনো ক্লাসে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী অনুপাত $1:4$
- (ক) অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদেরকে মোট শিক্ষার্থীর শতকরায় প্রকাশ কর।
- (খ) $5$ জন শিক্ষার্থীর বেশি উপস্থিত হলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীর অনুপাত হতো $1:9$। মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?
- (গ) মোট শিক্ষার্থীর মধ্যে ছাত্র সংখ্যা ছাত্রী সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা $10$ জন কম। ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত নির্ণেয় কর।
২৫ আশিক, মিজান, অনিক ও অহনা মোট $132500$ টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে এবং এক বছর শেষে $26500$ টাকা লাভ হয়। উক্ত ব্যবসায় মূলধনে আশিকের অংশ; মিজানের অংশ $=2:3$, মিজানের অংশ : অনিকার অংশ $=4:5$ এবং অনিকার অংশ : অহনার অংশ $=5:6$
- (ক) মূলধনের সরল অনুপাত নির্ণয় কর।
- (খ) উক্ত ব্যবসায় প্রত্যেকের মূলধন নির্ণয় কর।
- (গ) বছর শেষে লভ্যাংশের $60\%$ উক্ত ব্যবসায় বিনিয়োগ করা হলো। অবশিষ্ট লভ্যাংশ মূলধনের সরল অনুপাতে বিভক্ত হলে অহনা ও আশিকের লভ্যাংশের মধ্যে কে কত টাকা বেশি লাভ পাবে?
Practice-2 $1011$ টাকাকে $\frac{3}{4}:\frac{4}{5}:\frac{6}{7}$ অনুপাতে বিভক্ত কর।