সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৬৬

৬৬ (i) $P=\frac{\log \sqrt{27} + \log \sqrt{64} - \log \sqrt{1000}}{\log 6 - \log 5}$
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ $\frac{1}{3\sqrt6}$ এবং ৭ম পদ $\frac{1}{27\sqrt2}$

• (ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $3p^4-5p^2-12$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $P=\frac{3}{2}$
• (গ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি, $3p^4 - 5p^2 - 12$

মিডল টার্ম ব্রেক করে পাই, (এখানে, $3 \times -12 = -36$, এবং $-9 + 4 = -5$)

$= 3p^4 - 9p^2 + 4p^2 - 12$

$= 3p^2(p^2 - 3) + 4(p^2 - 3)$

$= (p^2 - 3)(3p^2 + 4)$

সুতরাং, নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ: $(p^2 - 3)(3p^2 + 4)$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$P = \frac{\log \sqrt{27} + \log \sqrt{64} - \log \sqrt{1000}}{\log 6 - \log 5}$

আমরা জানি, $\log \sqrt{a} = \log a^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log a$

$P = \frac{\frac{1}{2}\log 27 + \frac{1}{2}\log 64 - \frac{1}{2}\log 1000}{\log\left(\frac{6}{5}\right)}$

$= \frac{\frac{1}{2}(\log 3^3 + \log 4^3 - \log 10^3)}{\log 1.2}$

$= \frac{\frac{1}{2}(3\log 3 + 3\log 4 - 3\log 10)}{\log 1.2}$

$= \frac{\frac{1}{2} \cdot 3(\log 3 + \log 4 - \log 10)}{\log 1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2}(\log 3 + \log 4 - \log 10)}{\log 1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2}\log\left(\frac{3 \times 4}{10}\right)}{\log 1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2}\log\left(\frac{12}{10}\right)}{\log 1.2}$

$= \frac{\frac{3}{2}\log 1.2}{\log 1.2}$

$= \frac{3}{2}$

$\therefore P = \frac{3}{2}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

৪র্থ পদ $= \frac{1}{3\sqrt6}$

বা, $ar^{4-1} = \frac{1}{3\sqrt6}$

বা, $ar^3 = \frac{1}{3\sqrt6}$ ........ (i)

এবং ৭ম পদ $= \frac{1}{27\sqrt2}$

বা, $ar^{7-1} = \frac{1}{27\sqrt2}$

বা, $ar^6 = \frac{1}{27\sqrt2}$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে সমীকরণ (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{ar^6}{ar^3} = \frac{\frac{1}{27\sqrt2}}{\frac{1}{3\sqrt6}}$

বা, $r^3 = \frac{1}{27\sqrt2} \times 3\sqrt6$

বা, $r^3 = \frac{3\sqrt6}{27\sqrt2}$

বা, $r^3 = \frac{\sqrt{3 \times 2}}{9\sqrt2}$

বা, $r^3 = \frac{\sqrt3 \cdot \sqrt2}{9\sqrt2}$

বা, $r^3 = \frac{\sqrt3}{9}$

বা, $r^3 = \frac{\sqrt3}{3 \times 3}$

বা, $r^3 = \frac{\sqrt3}{(\sqrt3)^2 \times (\sqrt3)^2}$

বা, $r^3 = \frac{1}{(\sqrt3)^3}$

বা, $r^3 = \left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^3$

$\therefore r = \frac{1}{\sqrt3}$

এখন, $r$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$a\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^3 = \frac{1}{3\sqrt6}$

বা, $a \times \frac{1}{3\sqrt3} = \frac{1}{3\sqrt6}$

বা, $a = \frac{3\sqrt3}{3\sqrt6}$

বা, $a = \frac{\sqrt3}{\sqrt{3 \times 2}}$

বা, $a = \frac{\sqrt3}{\sqrt3 \cdot \sqrt2}$

$\therefore a = \frac{1}{\sqrt2}$

আমাদের গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় করতে হবে।

ধারাটির ১ম পদ $= a = \frac{1}{\sqrt2}$

২য় পদ $= ar = \frac{1}{\sqrt2} \times \frac{1}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt6}$

৩য় পদ $= ar^2 = \frac{1}{\sqrt2} \times \left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2 = \frac{1}{\sqrt2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sqrt2}$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো:

$\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt6} + \frac{1}{3\sqrt2} + \cdots \cdots \cdots$ Answer

Previous See All Next