সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ২১

২১ একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ $\dfrac{1}{3\sqrt6}$ এবং ৭ম পদ $\dfrac{1}{27\sqrt2}$ এবং অপর একটি সমান্তর ধারার প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $348$ এবং প্রথম $17$ পদের সমষ্টি $663$.

• (ক) $9+6+3+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $-201$?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারার $34$ তম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি: $9+6+3+ \cdots \cdots \cdots$

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 9$

সাধারণ অন্তর, $d = 6 - 9 = -3$

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= -201$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = -201$

বা, $9+(n-1)(-3) = -201$

বা, $-3(n-1) = -201 - 9$

বা, $-3(n-1) = -210$

বা, $n-1 = \dfrac{-210}{-3}$

বা, $n-1 = 70$

বা, $n = 70 + 1$

$\therefore n = 71$

সুতরাং, ধারাটির $71$ তম পদ $-201$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপক অনুসারে,

৪র্থ পদ $= \dfrac{1}{3\sqrt{6}}$

বা, $ar^{4-1} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}$

বা, $ar^3 = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}$ -------- (i)

আবার, উদ্দীপক অনুসারে,

৭ম পদ $= \dfrac{1}{27\sqrt{2}}$

বা, $ar^{7-1} = \dfrac{1}{27\sqrt{2}}$

বা, $ar^6 = \dfrac{1}{27\sqrt{2}}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) $\div$ (i) হতে পাই,

$\dfrac{ar^6}{ar^3} = \dfrac{\dfrac{1}{27\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{3\sqrt{6}}}$

বা, $r^3 = \dfrac{1}{27\sqrt{2}} \times \dfrac{3\sqrt{6}}{1}$

বা, $r^3 = \dfrac{\sqrt{6}}{9\sqrt{2}}$

বা, $r^3 = \dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2}}$

বা, $r^3 = \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$

বা, $r^3 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$

$\therefore r = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

সমীকরণ (i) এ $r$ এর মান বসিয়ে পাই,

$a \times \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}$

বা, $a \times \dfrac{1}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}$

বা, $a = \dfrac{1}{3\sqrt{6}} \times 3\sqrt{3}$

বা, $a = \dfrac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{3}}$

$\therefore a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\therefore$ নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি:

$a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \cdots \cdots$

$= \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}} + \dfrac{1}{3\sqrt{2}} + \cdots \cdots$ Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

উদ্দীপক অনুসারে, প্রথম $12$ পদের সমষ্টি $= 348$

বা, $\dfrac{12}{2}\{2a + (12 - 1)d\} = 348$

বা, $6(2a + 11d) = 348$

বা, $2a + 11d = \dfrac{348}{6}$

বা, $2a + 11d = 58$ -------- (i)

আবার উদ্দীপক অনুসারে, প্রথম $17$ পদের সমষ্টি $= 663$

বা, $\dfrac{17}{2}\{2a + (17 - 1)d\} = 663$

বা, $\dfrac{17}{2}(2a + 16d) = 663$

বা, $17(a + 8d) = 663$    [বন্ধনীর ভেতর থেকে 2 কমন নিয়ে ভাগ করে]

বা, $a + 8d = \dfrac{663}{17}$

বা, $a + 8d = 39$

$\therefore a = 39 - 8d$ -------- (ii)

(ii) হতে, সমীকরণ (i)-এ $a$ এর মান বসিয়ে পাই,

$2(39 - 8d) + 11d = 58$

বা, $78 - 16d + 11d = 58$

বা, $-5d = 58 - 78$

বা, $-5d = -20$

বা, $d = \dfrac{-20}{-5}$

$\therefore d = 4$

সমীকরণ (ii) এ $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$a = 39 - 8 \times 4 = 39 - 32 = 7$

$\therefore$ সমান্তর ধারাটির $34$ তম পদ $= a + (n - 1)d$

$= 7 + (34 - 1)4$

$= 7 + 33 \times 4$

$= 7 + 132$

$= 139$

সুতরাং, সমান্তর ধারার $34$ তম পদ $139$। Answer

Previous See All Next