গণিত : ৯ম-১০ম শ্রেণি : অধ্যায় ১১.১ : বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত : সমাধান - PDF

বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত (১১.১)

পাঠ্য বাইয়ের সমাধান

লিখার উপর ক্লিক অথবা টাচ্ করলেই সমাধান পেয়ে যাবেন

 ১  দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a$ মিটার এবং $b$ মিটার হলে, এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

 ২  একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, এদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর।

 ৩  দুইটি সংখ্যার অনুপাত $3:4$ এবং এদের ল.সা.গু. $180$। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

 ৪  একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত $1:4$, অনুপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যাকে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ কর।

 ৫  একটি দ্রব্য ক্রয় করে $28\%$ ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় কর।

 ৬  পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি $70$ বছর। $7$ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল $5:2$। $5$ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

 ৭  যদি $a:b=b:c$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

• (ক) $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$
• (খ) $a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$
• (গ) $\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{\left(ab+bc+ca\right)^3}=1$

 ৮  সমাধান কর:

• (ক) $\frac{1-\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}}=\frac13$
• (খ) $\frac{a+x-\sqrt{a^2-x^2}}{a+x+\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{b}{x}$,$2a>b>0$ এবং $x\neq0$
• (গ) $81\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^3=\frac{1+x}{1-x}$

 ৯  $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$ হলে, দেখাও যে,

• (ক) $\frac{a^3+b^3}{b^3+c^3}=\frac{b^3+c^3}{c^3+d^3}$
• (খ) $\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)=\left(ab+bc+cd\right)^2$

 ১০  $x=\frac{4ab}{a+b}$ হলে, দেখাও যে, $\frac{x+2a}{x-2a}+\frac{x+2b}{x-2b}=2$, $a\neq b$

 ১১  $x=\frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $x^3-3mx^2+3x-m=0$

 ১২  $x=\frac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$ হলে, দেখাও যে, $3bx^2-4ax+3b=0$

 ১৩  $\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(b+c\right)^2}$ হলে, দেখাও যে, $a$, $b$, $c$ ক্রমিক সমানুপাতী।

 ১৪  $\frac{x}{b+c}=\frac{y}{c+a}=\frac{z}{a+b}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{a}{y+z-x}=\frac{b}{z+x-y}=\frac{c}{x+y-z}$।

 ১৫  $\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$।

 ১৬  $\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a}$ এবং $a+b+c \neq 0$ হলে, প্রমাণ কর যে, $a=b=c$

 ১৭  $\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}$ এবং $x+y+z \neq 0$ হলে, দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত $=\frac{1}{a+b+c}$।

 ১৮  যদি $(a+b+c)p=(b+c-a)q=(c+a-b)r=(a+b-c)s$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{q}+\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{1}{p}$।

 ১৯  যদি $lx=my=nz$ হয়, তবে দেখাও যে, $\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=\frac{mn}{l^2}+\frac{nl}{m^2}+\frac{lm}{n^2}$।

 ২০  যদি $\frac{p}{q}=\frac{a^2}{b^2}$ এবং $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{a+q}}{\sqrt{a-q}}$ হয়, তবে দেখাও যে, $\frac{p+q}{a}=\frac{p-q}{q}$।