সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৪৯

৪৯ একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ $2$ এবং নবম পদ $8\sqrt2$

• (ক) $x-2y+1=0$, $2x+y-3=0$ সমীকরণ জোটটি সমঞ্জস কিনা এবং কয়টি সমাধান আছে?
• (খ) ধারাটির $14$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) দেখাও যে, ধারাটির ১ম $12$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{63\left(2+\sqrt2\right)}{2}$

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণ জোট:

$x - 2y + 1 = 0$ ........ (i)

$2x + y - 3 = 0$ ........ (ii)

সমীকরণদ্বয়কে $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ এবং $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

এখানে,

$x$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত, $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{2}$

$y$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-2}{1} = -2$

যেহেতু, $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$

সুতরাং, সমীকরণ জোটটি সমঞ্জস, অনির্ভরশীল এবং এর একটিমাত্র (অদ্বিতীয়) সমাধান আছে। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

চতুর্থ পদ $= 2$

বা, $ar^{4-1} = 2$

বা, $ar^3 = 2$ ........ (i)

এবং নবম পদ $= 8\sqrt2$

বা, $ar^{9-1} = 8\sqrt2$

বা, $ar^8 = 8\sqrt2$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে সমীকরণ (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^8}{ar^3} = \dfrac{8\sqrt2}{2}$

বা, $r^5 = 4\sqrt2$

এখন, $4\sqrt2$ কে সূচকে প্রকাশ করি:

$4\sqrt2 = 2^2 \times \sqrt2 = (\sqrt2)^4 \times \sqrt2 = (\sqrt2)^5$

$\therefore r^5 = (\sqrt2)^5$

$\therefore r = \sqrt2$

এখন, $r$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$a(\sqrt2)^3 = 2$

বা, $a \times 2\sqrt2 = 2$

বা, $a = \dfrac{2}{2\sqrt2}$

$\therefore a = \dfrac{1}{\sqrt2}$

আমাদের ধারাটির ১৪ তম পদ নির্ণয় করতে হবে।

১৪ তম পদ $= ar^{14-1} = ar^{13}$

$= \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right) \times (\sqrt2)^{13}$

$= \dfrac{(\sqrt2)^{13}}{\sqrt2}$

$= (\sqrt2)^{12}$

$= \left\{(\sqrt2)^2\right\}^6$

$= 2^6$

$= 64$

সুতরাং, ধারাটির $14$ তম পদ $64$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(খ) হতে প্রাপ্ত,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = \dfrac{1}{\sqrt2}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \sqrt2 > 1$

পদসংখ্যা, $n = 12$

যেহেতু $r > 1$, তাই গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র:

$S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম ১২টি পদের সমষ্টি,

$S_{12} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2} \left\{ (\sqrt2)^{12} - 1 \right\}}{\sqrt2 - 1}$

এখানে, $(\sqrt2)^{12} = 2^6 = 64$

$S_{12} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2} (64 - 1)}{\sqrt2 - 1}$

$= \dfrac{\dfrac{63}{\sqrt2}}{\sqrt2 - 1}$

$= \dfrac{63}{\sqrt2(\sqrt2 - 1)}$

$= \dfrac{63}{2 - \sqrt2}$

ভগ্নাংশের হর ও লবকে $(2 + \sqrt2)$ দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন করি,

$S_{12} = \dfrac{63(2 + \sqrt2)}{(2 - \sqrt2)(2 + \sqrt2)}$

$= \dfrac{63(2 + \sqrt2)}{2^2 - (\sqrt2)^2}$

$= \dfrac{63(2 + \sqrt2)}{4 - 2}$

$= \dfrac{63(2 + \sqrt2)}{2}$

সুতরাং, ধারাটির ১ম $12$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{63\left(2+\sqrt2\right)}{2}$। Showed

Previous See All Next