সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫০

৫০ $M=\dfrac{x-a}{a^2-b^2}$, $N=\dfrac{x-b}{b^2-a^2}$
একটি সমান্তর ধারার $m$ তম পদ $n$ এবং $n$ তম পদ $m$
একটি গুণোত্তর ধারার ১ম তিন পদের সমষ্টি $14$ এবং ১ম দুই পদের সমষ্টি $6$

• (ক) $M=N$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারার ১ম $(m+n)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত পূর্ণসংখ্যার জন্য প্রথম $8$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = \dfrac{x-a}{a^2-b^2}$ এবং $N = \dfrac{x-b}{b^2-a^2}$

প্রশ্নমতে,

$M = N$

বা, $\dfrac{x-a}{a^2-b^2} = \dfrac{x-b}{b^2-a^2}$

বা, $\dfrac{x-a}{a^2-b^2} = \dfrac{x-b}{-(a^2-b^2)}$

উভয়পক্ষকে $(a^2-b^2)$ দ্বারা গুণ করে পাই (ধরি, $a \neq b$),

$x - a = \dfrac{x-b}{-1}$

বা, $x - a = - (x - b)$

বা, $x - a = -x + b$

বা, $x + x = a + b$

বা, $2x = a + b$

$\therefore x = \dfrac{a+b}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় $x$ এর মান $\dfrac{a+b}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $= a + (p-1)d$

প্রশ্নমতে,

$m$ তম পদ, $a + (m-1)d = n$ ........ (i)

$n$ তম পদ, $a + (n-1)d = m$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$\{a + (m-1)d\} - \{a + (n-1)d\} = n - m$

বা, $a + md - d - a - nd + d = n - m$

বা, $md - nd = n - m$

বা, $d(m - n) = -(m - n)$

বা, $d = \dfrac{-(m - n)}{(m - n)}$

$\therefore d = -1$

এখন, সমান্তর ধারার প্রথম $(m+n)$ পদের সমষ্টি,

$S_{m+n} = \dfrac{m+n}{2} \{2a + (m+n-1)d\}$

$= \dfrac{m+n}{2} \{a + a + md + nd - d\}$

$= \dfrac{m+n}{2} [\{a + (m-1)d\} + a + nd]$

সমীকরণ (i) হতে $a + (m-1)d = n$ বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{m+n}{2} \{n + a + nd\}$

আবার, সমীকরণ (i) হতে পাই, $a = n - (m-1)d = n - (m-1)(-1) = n + m - 1$

এখন $a$ এবং $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$S_{m+n} = \dfrac{m+n}{2} \{n + (n + m - 1) + n(-1)\}$

$= \dfrac{m+n}{2} \{n + n + m - 1 - n\}$

$= \dfrac{m+n}{2} \{m + n - 1\}$

সুতরাং, ধারাটির ১ম $(m+n)$ পদের সমষ্টি $\dfrac{m+n}{2} (m+n-1)$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

প্রশ্নমতে,

১ম তিন পদের সমষ্টি, $S_3 = a + ar + ar^2 = 14$ ........ (i)

১ম দুই পদের সমষ্টি, $S_2 = a + ar = 6$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) কে সমীকরণ (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{a(1 + r + r^2)}{a(1 + r)} = \dfrac{14}{6}$

বা, $\dfrac{1 + r + r^2}{1 + r} = \dfrac{7}{3}$

আড়গুণন করে পাই,

$3(1 + r + r^2) = 7(1 + r)$

বা, $3 + 3r + 3r^2 = 7 + 7r$

বা, $3r^2 + 3r - 7r + 3 - 7 = 0$

বা, $3r^2 - 4r - 4 = 0$

বা, $3r^2 - 6r + 2r - 4 = 0$

বা, $3r(r - 2) + 2(r - 2) = 0$

বা, $(r - 2)(3r + 2) = 0$

হয়, $r - 2 = 0 \implies r = 2$

অথবা, $3r + 2 = 0 \implies r = -\dfrac{2}{3}$

প্রশ্নে উল্লেখ আছে সাধারণ অনুপাত ($r$) পূর্ণসংখ্যা।

যেহেতু $-\dfrac{2}{3}$ পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই $r = 2$।

এখন, $r = 2$ সমীকরণ (ii)-এ বসিয়ে পাই,

$a(1 + 2) = 6$

বা, $3a = 6$

$\therefore a = 2$

এখানে, সাধারণ অনুপাত $r = 2 > 1$.

আমরা জানি, $r > 1$ হলে গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$\therefore$ প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি,

$S_8 = \dfrac{2(2^8 - 1)}{2 - 1}$

$= \dfrac{2(256 - 1)}{1}$

$= 2 \times 255$

$= 510$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ৮ পদের সমষ্টি $510$। Answer

Previous See All Next