সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫১

৫১ একটি সমান্তর ধারার $p$ তম পদ $(p+q)^2$ ও $q$ তম পদ $(p-q)^2$ এবং $\dfrac{x}{22}=\dfrac{mn}{m+n}$

• (ক) প্রথম $12$টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\dfrac{x+11m}{x-11m}+\dfrac{x+11n}{x-11n}=2$
• (গ) সমান্তর ধারাটির $(p-q)$ তম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রথম $12$টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারাটি হলো: $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots \cdots + (2 \times 12 - 1)^2$

আমরা জানি, প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n(4n^2 - 1)}{3}$

এখানে পদসংখ্যা, $n = 12$

$\therefore$ প্রথম $12$টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি,

$S_{12} = \dfrac{12(4 \times 12^2 - 1)}{3}$

$= 4(4 \times 144 - 1)$

$= 4(576 - 1)$

$= 4 \times 575$

$= 2300$

সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি $2300$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\dfrac{x}{22} = \dfrac{mn}{m+n}$

বা, $x = \dfrac{22mn}{m+n}$ ........ (i)

সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে $11m$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{x}{11m} = \dfrac{22mn}{11m(m+n)}$

বা, $\dfrac{x}{11m} = \dfrac{2n}{m+n}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{x+11m}{x-11m} = \dfrac{2n+(m+n)}{2n-(m+n)}$

বা, $\dfrac{x+11m}{x-11m} = \dfrac{2n+m+n}{2n-m-n}$

বা, $\dfrac{x+11m}{x-11m} = \dfrac{m+3n}{n-m}$ ........ (ii)

আবার, সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে $11n$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{x}{11n} = \dfrac{22mn}{11n(m+n)}$

বা, $\dfrac{x}{11n} = \dfrac{2m}{m+n}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\dfrac{x+11n}{x-11n} = \dfrac{2m+(m+n)}{2m-(m+n)}$

বা, $\dfrac{x+11n}{x-11n} = \dfrac{2m+m+n}{2m-m-n}$

বা, $\dfrac{x+11n}{x-11n} = \dfrac{3m+n}{m-n}$

বা, $\dfrac{x+11n}{x-11n} = \dfrac{3m+n}{-(n-m)}$    [হর থেকে মাইনাস কমন নিয়ে]

বা, $\dfrac{x+11n}{x-11n} = -\dfrac{3m+n}{n-m}$ ........ (iii)

এখন, সমীকরণ (ii) এবং (iii) যোগ করে পাই,

$\dfrac{x+11m}{x-11m} + \dfrac{x+11n}{x-11n} = \dfrac{m+3n}{n-m} - \dfrac{3m+n}{n-m}$

$= \dfrac{(m+3n) - (3m+n)}{n-m}$

$= \dfrac{m+3n - 3m - n}{n-m}$

$= \dfrac{2n - 2m}{n-m}$

$= \dfrac{2(n-m)}{n-m}$

$= 2$

$\therefore \dfrac{x+11m}{x-11m} + \dfrac{x+11n}{x-11n} = 2$ Showed

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ $= a + (n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$p$-তম পদ, $a + (p-1)d = (p+q)^2$ ........ (i)

$q$-তম পদ, $a + (q-1)d = (p-q)^2$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$\{a + (p-1)d\} - \{a + (q-1)d\} = (p+q)^2 - (p-q)^2$

বা, $a + pd - d - a - qd + d = 4pq$    [যেহেতু $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$]

বা, $pd - qd = 4pq$

বা, $d(p - q) = 4pq$

$\therefore d = \dfrac{4pq}{p-q}$

আমাদেরকে ধারাটির $(p-q)$ তম পদ নির্ণয় করতে হবে।

$(p-q)$ তম পদ $= a + (p-q-1)d$

$= a + (p - 1 - q)d$

$= a + (p - 1)d - qd$

সমীকরণ (i) হতে $a + (p-1)d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= (p+q)^2 - qd$

এখন $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= (p+q)^2 - q\left(\dfrac{4pq}{p-q}\right)$

$= (p^2 + 2pq + q^2) - \dfrac{4pq^2}{p-q}$

$= \dfrac{(p^2 + 2pq + q^2)(p-q) - 4pq^2}{p-q}$

$= \dfrac{p^3 - p^2q + 2p^2q - 2pq^2 + pq^2 - q^3 - 4pq^2}{p-q}$

$= \dfrac{p^3 + p^2q - 5pq^2 - q^3}{p-q}$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির $(p-q)$ তম পদ $\dfrac{p^3 + p^2q - 5pq^2 - q^3}{p-q}$। Answer

Previous See All Next