সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৫২

৫২ $x=3$, $y=2$, $z=5$

• (ক) $z+yz+xz+ \cdots \cdots \cdots$ ধারার $11$ তম পদ নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\left( \log_{10}x\sqrt x - \log_{10}\dfrac{1}{y^x} - \log_{10}xy\sqrt{yx} \right) \div \log_{10}\dfrac{xy}{x} = \log_z \sqrt{z^x}$
• (গ) গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt x}$ এবং $10$তম পদ $\dfrac{1}{x^4}$ হলে, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $x = 3, y = 2, z = 5$

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $z+yz+xz+ \cdots \cdots \cdots$

প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে ধারাটি পাই,

$5 + (2 \times 5) + (3 \times 5) + \cdots \cdots \cdots$

$= 5 + 10 + 15 + \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির প্রথম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 10 - 5 = 15 - 10 = 5$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ধারাটির $11$ তম পদ $= 5 + (11-1)5$

$= 5 + 10 \times 5$

$= 5 + 50$

$= 55$

সুতরাং, ধারাটির $11$ তম পদ $55$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $x = 3, y = 2, z = 5$

বামপক্ষ (L.H.S):

$L.H.S = \left( \log_{10}x\sqrt x - \log_{10}\dfrac{1}{y^x} - \log_{10}xy\sqrt{yx} \right) \div \log_{10}\dfrac{xy}{x}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left( \log_{10}3\sqrt3 - \log_{10}\dfrac{1}{2^3} - \log_{10}(3 \cdot 2\sqrt{2 \cdot 3}) \right) \div \log_{10}\dfrac{3 \cdot 2}{3}$

$= \left( \log_{10}3^{\frac{3}{2}} - \log_{10}2^{-3} - \log_{10}6\sqrt6 \right) \div \log_{10}2$

$= \left( \log_{10}3^{\frac{3}{2}} - \log_{10}2^{-3} - \log_{10}6^{\frac{3}{2}} \right) \div \log_{10}2$

লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী $(\log a^b = b\log a)$,

$= \left( \dfrac{3}{2}\log_{10}3 - (-3)\log_{10}2 - \dfrac{3}{2}\log_{10}6 \right) \div \log_{10}2$

$= \left( \dfrac{3}{2}\log_{10}3 + 3\log_{10}2 - \dfrac{3}{2}\log_{10}(2 \cdot 3) \right) \div \log_{10}2$

$= \left( \dfrac{3}{2}\log_{10}3 + \dfrac{6}{2}\log_{10}2 - \dfrac{3}{2}(\log_{10}2 + \log_{10}3) \right) \div \log_{10}2$

$= \dfrac{3}{2} \left( \log_{10}3 + 2\log_{10}2 - \log_{10}2 - \log_{10}3 \right) \div \log_{10}2$

$= \dfrac{3}{2} \left( \log_{10}2 \right) \div \log_{10}2$

$= \dfrac{3}{2}\log_{10}2 \times \dfrac{1}{\log_{10}2}$

$= \dfrac{3}{2}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$R.H.S = \log_z \sqrt{z^x}$

$= \log_5 \sqrt{5^3}$    [মান বসিয়ে]

$= \log_5 (5^3)^{\frac{1}{2}}$

$= \log_5 5^{\frac{3}{2}}$

$= \dfrac{3}{2}\log_5 5$

$= \dfrac{3}{2} \times 1$    [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{3}{2}$

যেহেতু, L.H.S = R.H.S

$\therefore \left( \log_{10}x\sqrt x - \log_{10}\dfrac{1}{y^x} - \log_{10}xy\sqrt{yx} \right) \div \log_{10}\dfrac{xy}{x} = \log_z \sqrt{z^x}$ Showed

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $x = 3$

তাহলে, গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ $= \dfrac{1}{\sqrt3}$

এবং ১০তম পদ $= \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{81}$

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

প্রশ্নমতে,

$ar^{3-1} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ........ (i)

এবং $ar^{10-1} = \dfrac{1}{81}$

বা, $ar^9 = \dfrac{1}{81}$ ........ (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^9}{ar^2} = \dfrac{\dfrac{1}{81}}{\dfrac{1}{\sqrt3}}$

বা, $r^7 = \dfrac{1}{81} \times \sqrt3$

বা, $r^7 = \dfrac{\sqrt3}{3^4}$

বা, $r^7 = \dfrac{\sqrt3}{(\sqrt3)^8}$

বা, $r^7 = \dfrac{1}{(\sqrt3)^7}$

বা, $r^7 = \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^7$

$\therefore r = \dfrac{1}{\sqrt3}$

এখন, $r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a = \dfrac{3}{\sqrt3}$

$\therefore a = \sqrt3$

এখানে, সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{1}{\sqrt3} < 1$.

আমরা জানি, $r < 1$ হলে গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \dfrac{\sqrt3 \left\{ 1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^{10} \right\}}{1 - \dfrac{1}{\sqrt3}}$

এখানে, $\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^{10} = \dfrac{1}{(\sqrt3)^{10}} = \dfrac{1}{3^5} = \dfrac{1}{243}$

$S_{10} = \dfrac{\sqrt3 \left( 1 - \dfrac{1}{243} \right)}{\dfrac{\sqrt3 - 1}{\sqrt3}}$

$= \dfrac{\sqrt3 \left( \dfrac{242}{243} \right)}{\dfrac{\sqrt3 - 1}{\sqrt3}}$

$= \sqrt3 \times \dfrac{242}{243} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3 - 1}$

$= \dfrac{242 \times 3}{243(\sqrt3 - 1)}$

$= \dfrac{242}{81(\sqrt3 - 1)}$

ভগ্নাংশের হর ও লবকে $(\sqrt3 + 1)$ দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন করি,

$= \dfrac{242(\sqrt3 + 1)}{81(\sqrt3 - 1)(\sqrt3 + 1)}$

$= \dfrac{242(\sqrt3 + 1)}{81(3 - 1)}$

$= \dfrac{242(\sqrt3 + 1)}{81 \times 2}$

$= \dfrac{121(\sqrt3 + 1)}{81}$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম $10$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{121(\sqrt3 + 1)}{81}$। Answer

Previous See All Next