সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ২৮

২৮ (i) $7+p+q+s+16807+ \cdots \cdots \cdots$ একটি গুণোত্তর ধারা
(ii) $7+12+17+22+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির ১ম $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $1090$.

• (ক) $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $304$? নির্ণয় কর।
• (খ) $p$, $q$, $s$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) (ii) নং ব্যবহার করে $n$ এর মান নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $4+7+10+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 4$

সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 4 = 10 - 7 = 3$

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= 304$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 304$

বা, $4+(n-1)3 = 304$

বা, $(n-1)3 = 304 - 4$

বা, $(n-1)3 = 300$

বা, $n-1 = \dfrac{300}{3}$

বা, $n-1 = 100$

বা, $n = 100 + 1$

$\therefore n = 101$

সুতরাং, ধারাটির $101$ তম পদ $304$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই, ধারাটি: $7+p+q+s+16807+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 7$

ধরি, সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

ধারাটির ২য় পদ $= ar^{2-1} = ar = p$

ধারাটির ৩য় পদ $= ar^{3-1} = ar^2 = q$

ধারাটির ৪র্থ পদ $= ar^{4-1} = ar^3 = s$

এবং ধারাটির ৫ম পদ $= ar^{5-1} = ar^4 = 16807$

প্রশ্নমতে,

$ar^4 = 16807$

বা, $7 \times r^4 = 16807$

বা, $r^4 = \dfrac{16807}{7}$

বা, $r^4 = 2401$

বা, $r^4 = (\pm 7)^4$

$\therefore r = \pm 7$

যখন $r = 7$ হয়:

$p = ar = 7 \times 7 = 49$

$q = ar^2 = 7 \times 7^2 = 7 \times 49 = 343$

$s = ar^3 = 7 \times 7^3 = 7 \times 343 = 2401$

যখন $r = -7$ হয়:

$p = ar = 7 \times (-7) = -49$

$q = ar^2 = 7 \times (-7)^2 = 7 \times 49 = 343$

$s = ar^3 = 7 \times (-7)^3 = 7 \times (-343) = -2401$

সুতরাং, $p, q, s$ এর মান যথাক্রমে $49, 343, 2401$ অথবা $-49, 343, -2401$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই, ধারাটি: $7+12+17+22+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 7$

সাধারণ অন্তর, $d = 12 - 7 = 17 - 12 = 5$

ধরি, ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $S_n = 1090$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

প্রশ্নমতে,

$\dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\} = 1090$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2(7)+(n-1)5\} = 1090$

বা, $n \{14+5n-5\} = 1090 \times 2$

বা, $n(5n+9) = 2180$

বা, $5n^2+9n-2180 = 0$

বা, $5n^2+109n-100n-2180 = 0$

বা, $n(5n+109) - 20(5n+109) = 0$

বা, $(5n+109)(n-20) = 0$

হয়, $n-20 = 0$

$\therefore n = 20$

অথবা, $5n+109 = 0$

বা, $5n = -109$

$\therefore n = -\dfrac{109}{5}$

যেহেতু পদসংখ্যা $n$ ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না, তাই $n = -\dfrac{109}{5}$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় $n$ এর মান $20$। Answer

Previous See All Next