সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ২৯

২৯ (i) একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ এবং অষ্টম পদ $\dfrac{1}{27}$
(ii) অপর একটি সমান্তর ধারার ১ম $10$ পদের সমষ্টি $155$ এবং ১ম $20$ পদের সমষ্টি $610$

• (ক) $5+8+11+ \cdots \cdots \cdots$ ধারাটির কোন পদ $383$?
• (খ) গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।
• (গ) সমান্তর ধারাটির $30$ তম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত ধারাটি হলো: $5+8+11+ \cdots \cdots \cdots$

এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = 5$

সাধারণ অন্তর, $d = 8 - 5 = 11 - 8 = 3$

ধরি, ধারাটির $n$ তম পদ $= 383$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে,

$a+(n-1)d = 383$

বা, $5+(n-1)3 = 383$

বা, $(n-1)3 = 383 - 5$

বা, $(n-1)3 = 378$

বা, $n-1 = \dfrac{378}{3}$

বা, $n-1 = 126$

বা, $n = 126 + 1$

$\therefore n = 127$

সুতরাং, ধারাটির $127$ তম পদ $383$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপকের (i) নং শর্তানুসারে,

৩য় পদ $= \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $ar^{3-1} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $ar^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$ -------- (i)

এবং ৮ম পদ $= \dfrac{1}{27}$

বা, $ar^{8-1} = \dfrac{1}{27}$

বা, $ar^7 = \dfrac{1}{27}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^7}{ar^2} = \dfrac{\dfrac{1}{27}}{\dfrac{1}{\sqrt3}}$

বা, $r^5 = \dfrac{1}{27} \times \sqrt3$

বা, $r^5 = \dfrac{\sqrt3}{(\sqrt3)^6}$    [যেহেতু $27 = 3^3 = (\sqrt3)^6$]

বা, $r^5 = \dfrac{1}{(\sqrt3)^5}$

বা, $r^5 = \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^5$

$\therefore r = \dfrac{1}{\sqrt3}$

এখন, $r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2 = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

বা, $a = \dfrac{3}{\sqrt3}$

$\therefore a = \sqrt3$

অতএব, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি: $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + \left(\sqrt3 \times \dfrac{1}{\sqrt3}\right) + \left\{\sqrt3 \times \left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2\right\} + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + 1 + \left(\sqrt3 \times \dfrac{1}{3}\right) + \cdots \cdots$

$= \sqrt3 + 1 + \dfrac{1}{\sqrt3} + \cdots \cdots$

সুতরাং, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো: $\sqrt3 + 1 + \dfrac{1}{\sqrt3} + \cdots \cdots$ Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

উদ্দীপকের (ii) নং শর্তানুসারে,

১ম $10$ পদের সমষ্টি, $S_{10} = 155$

বা, $\dfrac{10}{2} \{2a+(10-1)d\} = 155$

বা, $5(2a+9d) = 155$

বা, $2a+9d = \dfrac{155}{5}$

বা, $2a+9d = 31$ -------- (iii)

আবার, ১ম $20$ পদের সমষ্টি, $S_{20} = 610$

বা, $\dfrac{20}{2} \{2a+(20-1)d\} = 610$

বা, $10(2a+19d) = 610$

বা, $2a+19d = \dfrac{610}{10}$

বা, $2a+19d = 61$ -------- (iv)

সমীকরণ (iv) থেকে (iii) নং বিয়োগ করে পাই,

$(2a+19d) - (2a+9d) = 61 - 31$

বা, $10d = 30$

বা, $d = \dfrac{30}{10}$

$\therefore d = 3$

এখন, $d$ এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2a + 9(3) = 31$

বা, $2a + 27 = 31$

বা, $2a = 31 - 27$

বা, $2a = 4$

বা, $a = \dfrac{4}{2}$

$\therefore a = 2$

আমাদের সমান্তর ধারাটির $30$ তম পদ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

$\therefore$ ধারাটির $30$ তম পদ $= a+(30-1)d$

$= a+29d$

$= 2 + 29(3)$

$= 2 + 87$

$= 89$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির $30$ তম পদ $89$। Answer

Previous See All Next