সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩৫

৩৫ একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ $\dfrac{2\sqrt3}{9}$ এবং দশম পদ $\dfrac{8\sqrt2}{81}$

• (ক) $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{1}{\sqrt2}$, $1$, $-\sqrt2$ $\cdots \cdots$ অনুক্রমটিকে ধারা আকারে প্রকাশ কর এবং সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকে উল্লেখিত ধারাটির ১ম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটি নির্ণয় কর এবং প্রথম দশটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত অনুক্রমটি হলো: $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{1}{\sqrt2}$, $1$, $-\sqrt2$, $\cdots \cdots$

অনুক্রমটিকে ধারা আকারে প্রকাশ করলে পাই,

নির্ণেয় ধারাটি: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{\sqrt2} + 1 - \sqrt2 + \cdots \cdots$ Answer

এখানে,

ধারাটির ১ম পদ, $a = \dfrac{1}{2}$

২য় পদ $= -\dfrac{1}{\sqrt2}$

$\therefore$ সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{\text{২য় পদ}}{\text{১ম পদ}}$

$= \dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt2}}{\dfrac{1}{2}}$

$= -\dfrac{1}{\sqrt2} \times 2$

$= -\dfrac{\sqrt2 \times \sqrt2}{\sqrt2}$

$= -\sqrt2$

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত $-\sqrt2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, উদ্দীপকের গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

শর্তমতে,

৫ম পদ, $ar^{5-1} = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $ar^4 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$ -------- (i)

এবং ১০ম পদ, $ar^{10-1} = \dfrac{8\sqrt2}{81}$

বা, $ar^9 = \dfrac{8\sqrt2}{81}$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^9}{ar^4} = \dfrac{\dfrac{8\sqrt2}{81}}{\dfrac{2\sqrt3}{9}}$

বা, $r^5 = \dfrac{8\sqrt2}{81} \times \dfrac{9}{2\sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{4\sqrt2}{9\sqrt3}$

বা, $r^5 = \dfrac{(\sqrt2)^4 \times \sqrt2}{(\sqrt3)^4 \times \sqrt3}$    [$4 = (\sqrt2)^4$ এবং $9 = (\sqrt3)^4$]

বা, $r^5 = \dfrac{(\sqrt2)^5}{(\sqrt3)^5}$

বা, $r^5 = \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^5$

$\therefore r = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$

এখন, $r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^4 = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $a \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{2\sqrt3}{9}$

বা, $a = \dfrac{2\sqrt3}{9} \times \dfrac{9}{4}$

বা, $a = \dfrac{2\sqrt3}{4}$

$\therefore a = \dfrac{\sqrt3}{2}$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ $\dfrac{\sqrt3}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(খ) হতে পাই,

প্রথম পদ, $a = \dfrac{\sqrt3}{2}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3} < 1$

অতএব, গুণোত্তর ধারাটির ২য় পদ $= ar = \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$

ধারাটির ৩য় পদ $= ar^2 = \dfrac{\sqrt3}{2} \times \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^2 = \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt3 \times 2}{2 \times \sqrt3 \times \sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$

$\therefore$ নির্ণেয় ধারাটি হলো: $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= \dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac{1}{\sqrt2} + \dfrac{1}{\sqrt3} + \cdots \cdots$ Answer

যেহেতু $r < 1$, তাই প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র: $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি,

$S_{10} = \dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2} \left\{ 1 - \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^{10} \right\}}{1 - \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}}$

এখানে লবের অংশটি হলো,

$1 - \left(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^{10} = 1 - \dfrac{2^5}{3^5} = 1 - \dfrac{32}{243} = \dfrac{243 - 32}{243} = \dfrac{211}{243}$

এবং হরের অংশটি হলো,

$1 - \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3 - \sqrt2}{\sqrt3}$

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই,

$S_{10} = \dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{211}{243}}{\dfrac{\sqrt3 - \sqrt2}{\sqrt3}}$

$= \dfrac{211\sqrt3}{486} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3 - \sqrt2}$

$= \dfrac{211 \times 3}{486(\sqrt3 - \sqrt2)}$

$= \dfrac{633}{486(\sqrt3 - \sqrt2)}$

$= \dfrac{211}{162(\sqrt3 - \sqrt2)}$

ভগ্নাংশের হর ও লবকে $(\sqrt3 + \sqrt2)$ দ্বারা গুণ করে হরের করণী নিরসন করি,

$S_{10} = \dfrac{211(\sqrt3 + \sqrt2)}{162(\sqrt3 - \sqrt2)(\sqrt3 + \sqrt2)}$

$= \dfrac{211(\sqrt3 + \sqrt2)}{162(3 - 2)}$

$= \dfrac{211(\sqrt3 + \sqrt2)}{162 \times 1}$

$= \dfrac{211(\sqrt3 + \sqrt2)}{162}$

সুতরাং, ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি $\dfrac{211(\sqrt3 + \sqrt2)}{162}$। Answer

Previous See All Next