সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩৬

৩৬ (i) কোনো সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, $p$ তম পদ $p^2$ এবং $q$ তম পদ $q^2$
(ii) কোনো গুণোত্তর ধারার $(p+q)$ তম পদ $p^2$ এবং $(p-q)$ তম পদ $q^2$

• (ক) সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, সমান্তর ধারার প্রথম $(p+q)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $=\dfrac{p+q}{2}\left(p^2+q^2+p+q\right)$
• (গ) গুণোত্তর ধারটির প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$ হলে, ধারাটির $p$ তম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$

সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $= a+(n-1)d$

উদ্দীপকের শর্তানুসারে,

$p$ তম পদ, $a+(p-1)d = p^2$

$q$ তম পদ, $a+(q-1)d = q^2$

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণ দুইটি হলো:

$a+(p-1)d = p^2$ -------- (i)

$a+(q-1)d = q^2$ -------- (ii) Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

(ক) হতে প্রাপ্ত সমীকরণ,

$a+(p-1)d = p^2$ -------- (i)

$a+(q-1)d = q^2$ -------- (ii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$\{a+(p-1)d\} - \{a+(q-1)d\} = p^2 - q^2$

বা, $a + pd - d - a - qd + d = p^2 - q^2$

বা, $pd - qd = p^2 - q^2$

বা, $d(p-q) = (p-q)(p+q)$

উভয়পক্ষকে $(p-q)$ দ্বারা ভাগ করে পাই, [যেহেতু $p \neq q$]

$\therefore d = p+q$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

$\therefore$ সমান্তর ধারাটির প্রথম $(p+q)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_{p+q} = \dfrac{p+q}{2} \{2a+(p+q-1)d\}$

$= \dfrac{p+q}{2} \{a + a + pd + qd - d\}$

$= \dfrac{p+q}{2} [\{a + (p-1)d\} + \{a + (q-1)d\} + d]$

এখন, (i) নং, (ii) নং সমীকরণ এবং $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$S_{p+q} = \dfrac{p+q}{2} (p^2 + q^2 + p + q)$

সুতরাং, সমান্তর ধারার প্রথম $(p+q)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $=\dfrac{p+q}{2}\left(p^2+q^2+p+q\right)$। (প্রমাণিত)

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$

সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপকের শর্তানুসারে,

$(p+q)$ তম পদ, $ar^{p+q-1} = p^2$ -------- (iii)

$(p-q)$ তম পদ, $ar^{p-q-1} = q^2$ -------- (iv)

সমীকরণ (iii) এবং (iv) গুণ করে পাই,

$\left(ar^{p+q-1}\right) \times \left(ar^{p-q-1}\right) = p^2 \times q^2$

বা, $a \times a \times r^{p+q-1+p-q-1} = (pq)^2$

বা, $a^2 r^{2p-2} = (pq)^2$

বা, $(ar^{p-1})^2 = (pq)^2$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

$ar^{p-1} = pq$

আমাদের গুণোত্তর ধারাটির $p$ তম পদ নির্ণয় করতে হবে।

গুণোত্তর ধারাটির $p$ তম পদ $= ar^{p-1}$

যেহেতু আমরা পেয়েছি $ar^{p-1} = pq$,

সুতরাং, ধারাটির $p$ তম পদ $pq$। Answer

Previous See All Next