সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩৪

৩৪ একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$, সাধারণ অনুপাত $r$, ধারাটির চতুর্থ পদ $-2$ এবং নবম পদ $8\sqrt2$.

• (ক) উপরোক্ত তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
• (খ) ধারাটির $11$তম পদ নির্ণয় কর।
• (গ) ধারাটি নির্ণয় করে সূত্রের সাহায্যে প্রথম $5$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$

সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

শর্তমতে,

৪র্থ পদ, $ar^{4-1} = -2$

বা, $ar^3 = -2$ -------- (i)

এবং ৯ম পদ, $ar^{9-1} = 8\sqrt2$

বা, $ar^8 = 8\sqrt2$ -------- (ii)

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণ দুইটি হলো: $ar^3 = -2$ এবং $ar^8 = 8\sqrt2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

(ক) হতে প্রাপ্ত সমীকরণ,

$ar^3 = -2$ -------- (i)

$ar^8 = 8\sqrt2$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^8}{ar^3} = \dfrac{8\sqrt2}{-2}$

বা, $r^5 = -4\sqrt2$

বা, $r^5 = - (\sqrt2)^4 \times \sqrt2$

বা, $r^5 = -(\sqrt2)^5$

বা, $r^5 = (-\sqrt2)^5$

$\therefore r = -\sqrt2$

আমাদের ধারাটির $11$ তম পদ নির্ণয় করতে হবে।

$11$ তম পদ $= ar^{11-1} = ar^{10}$

একে আমরা লিখতে পারি,

$ar^{10} = ar^8 \times r^2$

$= 8\sqrt2 \times (-\sqrt2)^2$    [(ii) নং হতে $ar^8 = 8\sqrt2$ এবং $r$ এর মান বসিয়ে]

$= 8\sqrt2 \times 2$

$= 16\sqrt2$

সুতরাং, ধারাটির $11$ তম পদ $16\sqrt2$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

(খ) হতে পাই, সাধারণ অনুপাত $r = -\sqrt2 < 1$

$r$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$a(-\sqrt2)^3 = -2$

বা, $a(-2\sqrt2) = -2$

বা, $a = \dfrac{-2}{-2\sqrt2}$

$\therefore a = \dfrac{1}{\sqrt2}$

অতএব, নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি: $a + ar + ar^2 + \cdots \cdots$

$= \dfrac{1}{\sqrt2} + \left\{ \dfrac{1}{\sqrt2} \times (-\sqrt2) \right\} + \left\{ \dfrac{1}{\sqrt2} \times (-\sqrt2)^2 \right\} + \cdots \cdots$

$= \dfrac{1}{\sqrt2} - 1 + \dfrac{2}{\sqrt2} - \cdots \cdots$

$= \dfrac{1}{\sqrt2} - 1 + \sqrt2 - \cdots \cdots$

এখন, ধারাটির প্রথম $5$টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে।

যেহেতু $r < 1$, তাই সমষ্টির সূত্র $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$\therefore$ প্রথম $5$টি পদের সমষ্টি, $S_5 = \dfrac{a(1 - r^5)}{1 - r}$

$= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2} \{1 - (-\sqrt2)^5\}}{1 - (-\sqrt2)}$

$= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2} \{1 - (-4\sqrt2)\}}{1 + \sqrt2}$

$= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt2} (1 + 4\sqrt2)}{1 + \sqrt2}$

$= \dfrac{1 + 4\sqrt2}{\sqrt2(1 + \sqrt2)}$

$= \dfrac{1 + 4\sqrt2}{\sqrt2 + 2}$

ভগ্নাংশের হর ও লবকে $(2 - \sqrt2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \dfrac{(1 + 4\sqrt2)(2 - \sqrt2)}{(2 + \sqrt2)(2 - \sqrt2)}$

$= \dfrac{2 - \sqrt2 + 8\sqrt2 - 4(2)}{2^2 - (\sqrt2)^2}$

$= \dfrac{2 + 7\sqrt2 - 8}{4 - 2}$

$= \dfrac{7\sqrt2 - 6}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় ধারাটি $\dfrac{1}{\sqrt2} - 1 + \sqrt2 - \cdots \cdots$ এবং প্রথম $5$টি পদের সমষ্টি $\dfrac{7\sqrt2 - 6}{2}$। Answer

Previous See All Next