সসীম ধারা : অনুশীলনী-১৩ - সৃজনশীল - ৩৩

৩৩ (i) কোনো সমান্তর ধারার প্রথম $m$ পদের সমষ্টি $n$ এবং প্রথম $n$ পদের সমষ্টি $m$.
(ii) একটি গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ $-27$ এবং একাদশ পদ $81\sqrt3$.

• (ক) প্রথম $p$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $441$ হলে, $p$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) সমান্তর ধারাটির প্রথম $(m+n)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
• (গ) গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ নির্ণয় কর।

(ক) নং এর সমাধান

আমরা জানি, প্রথম $p$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, $S_p = \left\{ \dfrac{p(p+1)}{2} \right\}^2$

প্রশ্নমতে,

$\left\{ \dfrac{p(p+1)}{2} \right\}^2 = 441$

বা, $\dfrac{p(p+1)}{2} = \sqrt{441}$

বা, $\dfrac{p(p+1)}{2} = 21$    [যেহেতু $p$ স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]

বা, $p(p+1) = 42$

বা, $p^2 + p - 42 = 0$

বা, $p^2 + 7p - 6p - 42 = 0$

বা, $p(p + 7) - 6(p + 7) = 0$

বা, $(p + 7)(p - 6) = 0$

হয়, $p + 7 = 0$

$\therefore p = -7$

অথবা, $p - 6 = 0$

$\therefore p = 6$

যেহেতু পদসংখ্যা $p$ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $p = -7$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় $p$ এর মান $6$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n = \dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\}$

উদ্দীপক (i) অনুসারে,

প্রথম $m$ পদের সমষ্টি, $S_m = n$

বা, $\dfrac{m}{2} \{2a+(m-1)d\} = n$

বা, $2a+(m-1)d = \dfrac{2n}{m}$ -------- (i)

এবং প্রথম $n$ পদের সমষ্টি, $S_n = m$

বা, $\dfrac{n}{2} \{2a+(n-1)d\} = m$

বা, $2a+(n-1)d = \dfrac{2m}{n}$ -------- (ii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$\{2a+(m-1)d\} - \{2a+(n-1)d\} = \dfrac{2n}{m} - \dfrac{2m}{n}$

বা, $2a + md - d - 2a - nd + d = \dfrac{2n^2 - 2m^2}{mn}$

বা, $md - nd = \dfrac{-2(m^2 - n^2)}{mn}$

বা, $d(m - n) = \dfrac{-2(m - n)(m + n)}{mn}$

উভয়পক্ষকে $(m - n)$ দ্বারা ভাগ করে পাই, [যেহেতু $m \neq n$]

$\therefore d = \dfrac{-2(m + n)}{mn}$

এখন, সমান্তর ধারাটির প্রথম $(m+n)$ পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে:

$S_{m+n} = \dfrac{m+n}{2} \{2a+(m+n-1)d\}$

$= \dfrac{m+n}{2} \{2a+(m-1)d + nd\}$

$= \dfrac{m+n}{2} \left[ \dfrac{2n}{m} + n \left\{ \dfrac{-2(m+n)}{mn} \right\} \right]$    [(i) নং হতে $2a+(m-1)d = \dfrac{2n}{m}$ এবং $d$ এর মান বসিয়ে]

$= \dfrac{m+n}{2} \left[ \dfrac{2n}{m} - \dfrac{2(m+n)}{m} \right]$

$= \dfrac{m+n}{2} \left[ \dfrac{2n - 2m - 2n}{m} \right]$

$= \dfrac{m+n}{2} \left[ \dfrac{-2m}{m} \right]$

$= \dfrac{m+n}{2} (-2)$

$= -(m+n)$

সুতরাং, সমান্তর ধারাটির প্রথম $(m+n)$ পদের সমষ্টি $-(m+n)$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $= ar^{n-1}$

উদ্দীপক (ii) অনুসারে,

৮ম পদ $= -27$

বা, $ar^{8-1} = -27$

বা, $ar^7 = -27$ -------- (i)

এবং ১১তম পদ $= 81\sqrt3$

বা, $ar^{11-1} = 81\sqrt3$

বা, $ar^{10} = 81\sqrt3$ -------- (ii)

সমীকরণ (ii) কে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{ar^{10}}{ar^7} = \dfrac{81\sqrt3}{-27}$

বা, $r^3 = -3\sqrt3$

বা, $r^3 = - (\sqrt3 \times \sqrt3) \times \sqrt3$

বা, $r^3 = -(\sqrt3)^3$

বা, $r^3 = (-\sqrt3)^3$

$\therefore r = -\sqrt3$

আমাদের গুণোত্তর ধারাটির ১০ম পদ নির্ণয় করতে হবে।

১০ম পদ $= ar^{10-1} = ar^9$

একে আমরা লিখতে পারি,

$ar^9 = ar^7 \times r^2$

$= -27 \times (-\sqrt3)^2$    [(i) নং হতে $ar^7 = -27$ এবং $r$ এর মান বসিয়ে]

$= -27 \times 3$

$= -81$

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির ১০ম পদ $-81$। Answer

Previous See All Next